a) Ta có :  \(\Delta"=\left(-m\right)^2-\left(m-2\right)=m^2-m+2=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0\forall m\)

=> Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

b) Hệ thức Viete : 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)

Khi đó \(M=\dfrac{-24}{x_1^2+x_2^2-6x_1x_2}=\dfrac{-24}{\left(x_1+x_2\right)^2-8x_1x_2}\)

\(=\dfrac{-24}{\left(2m\right)^2-8.\left(m-2\right)}=\dfrac{-6}{m^2-2m+4+=}=\dfrac{-6}{\left(m-1\right)^2+3}\)

Do (m - 1)² + 3 \(\ge3\forall m\)

nên \(\dfrac{6}{\left(m-1\right)^2+3}\le2\Leftrightarrow M=\dfrac{-6}{\left(m-1\right)^2+3}\ge-2\)

Vậy M_min = -2 <=> m = 1

ĐKXĐ : \(x\ge-3;x^2+9x+19\ge0\)

Phương trình tương đương 

\(2\sqrt{x+3}=\sqrt{x^2+9x+19}-\left(x+4\right)\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x+3}=\dfrac{x+3}{\sqrt{x^2+9x+19}+x+4}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+3=0\\\dfrac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x^2+9x+19}+x+4}=2\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Giải (1) ta có : \(2\sqrt{x^2+9x+9}=-2x-8+\sqrt{x+3}\)

Đặt t = \(\sqrt{x+3}\) có VP = f(t) = -2t² + t - 2 \(\le-\dfrac{15}{8}\)< 0 (2)

Dấu "=" khi \(x=\dfrac{1}{4}\)

Lại có VP \(\ge0\) (3)

Từ (2) (3) được (1) vô nghiệm

=> Nghiệm phương trình ban đầu là nghiệm của x + 3 = 0

<=> x = -3 (TM)

Tập nghiệm S = {-3}   

b,

Mình không giải nhưng chắc chắn đây là hệ quả của BĐT Schur.

Từ 2x - y - 2 = 0

ta được y = 2x - 2

Thế vào phương trình dưới ta được

3x² - x(2x - 2)  - 8 = 0

<=> x² + 2x - 8 = 0

<=> (x - 2)(x + 4) = 0

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-4\end{matrix}\right.\)

Với x = 2 được y = 2

Với x = -4 được y = - 10

Vậy (x;y) = (2;2) ; (-4 ; -10) 

a)Có: \(\Delta=\left(-m\right)^2-4\left(m-5\right)=m^2-4m+20=\left(m-2\right)^2+16>0\)

=> Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \(\forall m\)

b) Áp  dụng hệ thức Viete : 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-5\end{matrix}\right.\)

Kết hợp giả thiết : \(x_1+2x_2=1\) 

ta được \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1+2x_2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=1-m\\x_1=2m-1\end{matrix}\right.\)

Khi đó \(x_1x_2=m-5\)

\(\Leftrightarrow\left(1-m\right).\left(2m-1\right)=m-5\)

\(\Leftrightarrow2m^2-2m-4=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=2\end{matrix}\right.\)

Vậy m \(\in\left\{-1;2\right\}\)

Ta có: VT $=\genfrac{}{}{0ex}{}{8\sqrt{2}-\sqrt{32}-4}{1-\sqrt{2}}$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{8\sqrt{2}-\sqrt{2.4^2}-4}{1-\sqrt{2}}=\genfrac{}{}{0ex}{}{8\sqrt{2}-4\sqrt{2}-4}{1-\sqrt{2}}$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{4\sqrt{2}-4}{1-\sqrt{2}}=\genfrac{}{}{0ex}{}{-4(1-\sqrt{2})}{1-\sqrt{2}}=-4=$ V P

Vậy $\genfrac{}{}{0ex}{}{8\sqrt{2}-\sqrt{32}-4}{1-\sqrt{2}}=-4$

b) ĐKXĐ: $\{\begin{array}{r}x\ge 0\\ \sqrt{x}+2\ne 0\\ \sqrt{x}-2\ne 0\\ x-4\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{r}x\ge 0\\ \sqrt{x}\ne 2\\ x\ne 4\end{array}\iff \{\begin{array}{r}x\ge 0\\ x\ne 4\end{array}$.

Vậy ĐKXĐ của $P$ là $x\ge 0$, $x\ne 4$.

Với $x\ge 0$, $x\ne 4$ ta có:

$P=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{\sqrt{x}+2}-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{\sqrt{x}-2}+\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{x-4}\right).(\sqrt{x}-1)$

$=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{\sqrt{x}+2}-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{\sqrt{x}-2}+\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}\right).(\sqrt{x}-1)$

$=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2(\sqrt{x}-2)-(\sqrt{x}+2)+7}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}\right).(\sqrt{x}-1)$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{2\sqrt{x}-4-\sqrt{x}-2+7}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}.(\sqrt{x}-1)$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}.(\sqrt{x}-1)$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{x-1}{x-4}$.

Vậy $P=\genfrac{}{}{0ex}{}{x-1}{x-4}$ với $x\ge 0$, $x\ne 4$.

Bài làm :

Ta có : \(\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT (1) ta có :

\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{c}{d+a}=\dfrac{a^2+ad+bc+c^2}{\left(b+c\right)\left(d+a\right)}\ge\dfrac{4\left(a^2+ad+bc+c^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\left(2\right)\)

Tương tự : \(\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{d}{a+b}\ge\dfrac{4\left(b^2+ab+cd+d^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\left(3\right)\)

Cộng các về của các BĐT (2) và (3) ta được :

\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a}+\dfrac{d}{a+b}\ge\dfrac{4\left(a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc+ab+cd\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)

\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a}+\dfrac{d}{a+b}\ge\dfrac{2\left(2a^2+2b^2+2c^2+2d^2+2ad+2bc+2ab+2cd\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)

\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a}+\dfrac{d}{a+b}\ge\dfrac{2[\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+d\right)^2+\left(a+d\right)^2]}{\left(a+b+c+d\right)^2}=2B\)

Ta dễ dàng chứng minh được : \(B\ge1\)

Thật vậy :

\(\dfrac{\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+d\right)^2+\left(a+d\right)^2}{\left(a+b+c+d\right)^2}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+d\right)^2+\left(d+a\right)^2\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)^2+\left(b-d\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Dấu đằng thức xảy ra : \(\Leftrightarrow a=c;b=d\)

khó thế tui ko hỉu

ĐKXĐ: \(x\ne0\)

- Với \(x< 0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+1}+3>0\\\dfrac{1}{x}-3< 0\Rightarrow\left(\dfrac{1}{x}-3\right)\left(\sqrt{9x^2-6x+2}+3\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Phương trình vô nghiệm

- Với \(x\ge\dfrac{1}{3}\) tương tự ta có \(\dfrac{1}{x}-3\le0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VT>0\\VT\le0\end{matrix}\right.\) nên pt vô nghiệm

- Với \(0< x< \dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow x\sqrt{x^2+1}+3x=\left(1-3x\right)\left(\sqrt{\left(1-3x\right)^2+1}+3\right)\)

Đặt \(1-3x=y>0\)

\(\Rightarrow x\sqrt{x^2+1}+3x=y\left(\sqrt{y^2+1}+3\right)\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{x^2+1}-y\sqrt{y^2+1}+3\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2\left(x^2+1\right)-y^2\left(y^2+1\right)}{x\sqrt{x^2+1}+y\sqrt{y^2+1}}+3\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(\dfrac{\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+x+y}{x\sqrt{x^2+1}+y\sqrt{y^2+1}}+3\right)=0\) (1)

Do \(\dfrac{\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+x+y}{x\sqrt{x^2+1}+y\sqrt{y^2+1}}+3>0;\forall x;y>0\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x-y=0\Leftrightarrow x-\left(1-3x\right)=0\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{4}\)