Ta có : \(S_{ABC}=\dfrac{AH.BC}{2}\)

Kẻ đường cao từ B xuống AC tại E do đó :

\(S_{ABC}=\dfrac{BE.AC}{2}\)

mà \(BE< AB\) ( AB là cạnh huyền trong tam giác ABE )

Do đó :

\(\dfrac{AB.AC}{2}\ge\dfrac{BE.AC}{2}=\dfrac{AH.BC}{2}\)

\(\Rightarrow AB.AC\ge AH.BC\left(đpcm\right)\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : BE trùng với AB

\(\Leftrightarrow\Delta ABC\) vuông tại A .

Sau 7 ngày lượng gạo còn đủ cho 200 người ăn trong 5 ngày

Nếu 50 người đến thêm thì tổng số người ăn sẽ là: 250 người thì ăn trong số ngày là:

(Do số người ăn và số ngày ăn tỉ lệ nghịch nên):

\(5:\dfrac{200}{250}=\dfrac{5x4}{5}=4\) (ngày)

ĐKXĐ : \(x\ge\dfrac{1}{2}\)

Đặt \(\sqrt{2x-1}=a;\sqrt{8x+1}=b\left(a;b\ge0\right)\)

=> \(a^2=2x-1;b^2=8x+1\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{10}=x\)

Lại có \((13x+1).\sqrt{2x-1}=(7x-1).\sqrt{8x+1}-4\)

\(\Leftrightarrow-\left(\sqrt{2x-1}\right)^3+15x.\sqrt{2x-1}=-\left(\sqrt{8x+1}\right)^3+15x.\sqrt{8x+1}-4\)

\(\Leftrightarrow-a^3+15ax=-b^3+15bx-4\)

\(\Leftrightarrow a^3-b^3-\dfrac{3}{2}.\left(a-b\right).\left(a^2+b^2\right)=4\)

\(\Leftrightarrow-\left(a-b\right)^3=8\)

\(\Leftrightarrow a=b-2\)

Thay vào ta được : \(\sqrt{2x-1}=\sqrt{8x+1}-2\)

\(\Leftrightarrow3x+3=2\sqrt{8x+1}\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9x^2-14x+5=0\\x\ge-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=\dfrac{5}{9}\end{matrix}\right.\)(tm ĐKXĐ)

A =             1 + \(\dfrac{1}{2}\) + \(\dfrac{1}{4}\) + \(\dfrac{1}{8}\)+ \(\dfrac{1}{16}\) + \(\dfrac{1}{32}\)+ \(\dfrac{1}{64}\)+ \(\dfrac{1}{128}\)

A\(\times\)2 = 2 + 1 + \(\dfrac{1}{2}\) +  \(\dfrac{1}{4}\) + \(\dfrac{1}{8}\) + \(\dfrac{1}{16}\) + \(\dfrac{1}{32}\) + \(\dfrac{1}{64}\)

A \(\times\) 2 - A = 2 - \(\dfrac{1}{128}\)

A \(\times\)( 2-1) = \(\dfrac{255}{128}\)

A = \(\dfrac{255}{128}\)

Gọi \(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{64}+\dfrac{1}{128}\) là T

\(T=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{64}+\dfrac{1}{128}\)

\(2T=2+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+....+\dfrac{1}{64}\)

\(2T-T=\left(2+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+....+\dfrac{1}{64}\right)-\left(1+\dfrac{1}{2}+....+\dfrac{1}{64}+\dfrac{1}{128}\right)\)

\(T=2+\left(1-1\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\right)+....+\left(\dfrac{1}{64}-\dfrac{1}{64}\right)-\dfrac{1}{128}\)

\(T=2+0+0+...-\dfrac{1}{128}\)

\(T=\dfrac{256}{128}-\dfrac{1}{128}\)

\(T=\dfrac{255}{128}\)

\(=\dfrac{20}{21}x\dfrac{21}{22}x\dfrac{22}{23}x...x\dfrac{1999}{2000}\)

\(=\dfrac{20}{2000}=\dfrac{1}{100}\)

=20/21x21/22x22/23x..............x1998/1999x1999/2000

=20x21x22x23x.....................x1998x1999/21x22x23x24x...............x1999x2000

=20/2000

1/100

Xét EAF và EAC có:

+chung đường cao hạ từ e

+AF = 1/3 AC

=> S EAF= 1/3 S EAC

Xét EAC và ABC có:

+Chung đường cao hạ từ C

+AE=3/4 AB

=>S EAC =3/4 S ABC

=> S EAC= (1/3 x 3/4) S ABC = 1/4 S ABC

Tương tự

S BED =1/8 S ABC

S CDF=1/3 S ABC

=> S DEF= S ABC -S BED -S CDF

= S ABC -1/4 S ABC -1/8 S ABC -1/3 S ABC

= 7/24 S ABC

= 7/24 x 1/2 x AB x AC

= 7/24 x 1/2 x 8 x 12 =14 (cm^2)

Xét EAF và EAC có:

+chung đường cao hạ từ e

+AF = 1/3 AC

=> S EAF= 1/3 S EAC

Xét EAC và ABC có:

+Chung đường cao hạ từ C

+AE=3/4 AB

=>S EAC =3/4 S ABC

=> S EAC= (1/3 x 3/4) S ABC = 1/4 S ABC

Tương tự

S BED =1/8 S ABC

S CDF=1/3 S ABC

=> S DEF= S ABC -S BED -S CDF

= S ABC -1/4 S ABC -1/8 S ABC -1/3 S ABC

= 7/24 S ABC

= 7/24 x 1/2 x AB x AC

= 7/24 x 1/2 x 8 x 12 =14 (cm^2)

AB = AD ; BD = AB + AD ⇒ BD = AB \(\times\) 2 

S_{BCD =} S_ABC \(\times\) 2 (vì hai tam giác có chung đường cao hạ từ đỉnh C xuống đáy AB và BD = AB\(\times\)2) (1)

BC = \(\dfrac{1}{2}\) CE ⇒ BC \(\times\) 2 = CE

BE = BC + CE = BC + BC \(\times\) 2 = BC \(\times\) 3  

S_BDE = S_BCD \(\times\) 3( vì hai tam giác có chung đường cao hạ từ đỉnh D xuống đáy BE và BE = BC \(\times\) 3) (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

S_BDE = S_ABC \(\times\) 2 \(\times\) 3 

S_BDE = 5 \(\times\) 2 \(\times\) 3 = 30( cm²)

Đáp số: 30 cm²

Đường cao tam giác ABC =h= 1/2 đường cao tam giác BDE 

Cạnh BE = 3xBC

S_BDE = (3xBC x2xh):2 = 6 x S_ABC =6x5 = 30 (cm2)

d + 15 = r + 105 ⇒ d = r + 105 - 15 ⇒ d = r + 90

Chiều dài hơn chiều rộng là: 105 - 15 = 90 (m)

Theo bài ra ta có sơ đồ:  

Theo sơ đồ ta có:

Chiều rộng là: 90: ( 3-1) = 45 (m)

Chiều dài là: 45 + 90 = 135 (m)

Đáp số: Chiều dài 135 m

             Chiều rộng 45 m

Gọi số cần tìm là abcd

Giả sử số cần tìm đó là : 9999

Ta có : 9999 : 2021 thì được thương lớn nhất là 4 .

⇒ Thương là 4 . Số dư là 4 :

Ta có số cần tìm là :

abcd : 2021 = 4 (4)

⇒abcd = 4 x 2021 + 4 = 8088

Vậy số đó là 8088

Nếu thương lớn hơn hoặc cùng lắm là 5 ta có: 5 \(\times\) 2021 = 10105 (loại) 

Nếu thương là nhỏ hơn hoặc cùng lắm là 4 thì 4\(\times\) 2021 = 8084 (thỏa mãn)

Để được số bị chia lớn nhất thì thương phải lớn  nhất có thể nên thương là 4

Vì thương bằng số dư nên số dư là 4

Số bị chia cần tìm là: 4 \(\times\) 2021 + 4 = 8088

Đáp số: 8088

√4−√7−√4+√7+√7=√2(√4−√7−√4+√7+√7)√2=√8−2√7−√8+2√7+√14√2=√7−2√7+1−√7+2√7+1+√14√2=√(√7−1)2−√(√7+1)2+√14√2=∣∣√7−1∣∣−∣∣√7+1∣∣+√14√2=√7−1−√7−1+√14√2=√14−2√2=√2(√7−√2)√2=√7−√2

Lời giải:
\(\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}=\sqrt{\frac{8-2\sqrt{7}}{2}}-\sqrt{\frac{8+2\sqrt{7}}{2}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{7}-1)^2}{2}}-\sqrt{\frac{(\sqrt{7}+1)^2}{2}}\)

\(=\frac{|\sqrt{7}-1|}{\sqrt{2}}-\frac{|\sqrt{7}+1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{7}-1-(\sqrt{7}+1)}{\sqrt{2}}=\frac{-2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}\)