\(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\)

\(\ge\frac{\left(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}{2}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+\frac{4}{a+b}\right)^2}{2}\)

\(=\frac{25}{2}\) 

tại a=b=¹/₂

thêm ít cách

Cách 1:

Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta được:

\(\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\right]\left(1^2+1^2\right)\ge\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)+\left(b+\frac{1}{a}\right)\right]^2\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\right]2\ge\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2\)(1)

Ta có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)( tự CM nha )

ÁP dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge4\)(2)

Thay (2) vào (1) ta được: 

\(\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\right]2\ge25\)

\(\Rightarrow\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\ge\frac{25}{2}\left(đpcm\right)\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Cách 2: 

Đặt \(P=\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\)

Ta có: \(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2=a^2+\frac{2a}{b}+\frac{1}{b^2}+b^2+\frac{2b}{a}+\frac{1}{a^2}\)

\(=a^2+\frac{2a}{b}+\frac{1}{16b^2}+\frac{15}{16b^2}+b^2+\frac{2b}{a}+\frac{1}{16a^2}+\frac{15}{16a^2}\)

\(=\left(a^2+\frac{1}{16a^2}\right)+\left(b^2+\frac{1}{16b^2}\right)+\left(\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\right)+\left(\frac{15}{16b^2}+\frac{15}{16a^2}\right)\)

ÁP dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^2+\frac{1}{16a^2}\ge2\sqrt{a^2.\frac{1}{16a^2}}\ge\frac{1}{2}\)(3)

\(b^2+\frac{1}{16b^2}\ge2\sqrt{b^2.\frac{1}{16b^2}}\ge\frac{1}{2}\)(4)

\(\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\ge2\sqrt{\frac{2a}{b}.\frac{2b}{a}}\ge4\)(5)

\(\frac{15}{16a^2}+\frac{15}{16b^2}\ge2\sqrt{\frac{15.15}{16.16a^2b^2}}=\frac{15}{8ab}\)(1) 

ÁP dụng BĐT AM-GM ta có:

\(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)(2)

Thay (2) vào (1) ta được:

\(\frac{15}{16a^2}+\frac{15}{16b^2}\ge\frac{15}{2}\)(6)

Cộng (3)+(4)+(5)+(6) ta được: 

\(P\ge\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{15}{2}+4=\frac{25}{2}\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Cách 3:Làm tắt thui ạ

Đặt \(P=\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\)

\(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2=a^2+\frac{2a}{b}+\frac{1}{b^2}+b^2+\frac{2b}{a}+\frac{1}{a^2}\ge2ab+\frac{2}{ab}+4\)

\(P\ge2\left(ab+\frac{1}{ab}\right)+4\)

\(P\ge2\left(ab+\frac{1}{16ab}+\frac{15}{16ab}\right)+4\)

giống cách 2 rồi làm nốt

Gọi K là giao điểm của AB và EF 

O là giao điểm của AC và BD => OB = OD vì ABCD là hình chữ nhật

Ta có: EK // OB => \(\frac{EK}{OB}=\frac{AE}{AO}\)

          EF//OD => \(\frac{EF}{OD}=\frac{AE}{AO}\)

=> \(\frac{EK}{OB}=\frac{EF}{OD}\) mà OD = OB 

=> EK = EF mặt khác EH = EB ( H đối xứng với B qua E )

=> KBFH là hình bình hành 

=> KB //=HF  ( 1)

Ta lại có: KB //GD ( vì G thuộc DC ; AB //DC ; ABCD là hình chữ nhật )

và GK // BD ( giả thiết )

=> GKBD là hình bình hành

=> KB // = GD ( 2)

Từ ( 1) và (2) => HF // = GD 

=> HFDG là hình bình hành có: ^FDG = 90 độ ( kề bù ^ADC = 90 độ )

=> HFDG là hình chữ nhật 

=> HD = FG ( hai đường chéo bằng nhau)

Gọi x là số lần tăng lên của vi khuẩn sau 30 phút

Ban đầu chỉ có 50 con => Sau 30 phút: 50x con

=> Sau 1 h : 50x² con . => Sau 1h 30 p : 50x³ con 

=> Sau 2h: 50x⁴ con 

..... 

=> Sau 24h : 50x⁴⁸  con 

Theo bài ra : Sau 2h vi khuẩn là 4050 con

Do đó ta có pt: 50x⁴= 4050 <=> x = 3

Vậy sau 1 ngày ( = 24 h ) số vi khuẩn sẽ là: 50.x⁴⁸ = 50.3⁴⁸ con 

a) Xét \(\Delta AEC\) và \(\Delta ADB\) có :

\(\hept{\begin{cases}\widehat{A}chung\\\widehat{AEC}=\widehat{ADB}\left(=90^o\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta AEC\) đồng dạng  \(\Delta ADB\) (g.g)

b)  Ta có : \(\Delta AEC\) đồng dạng   \(\Delta ADB\)

\(\Rightarrow\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}\)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC\) có :

\(\hept{\begin{cases}\widehat{A}chung\\\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}\left(cmt\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta ADE\) đồng dạng \(\Delta ABC\) (c.g.c)

c)  Xét  \(\Delta ABF\) và \(\Delta CBE\) có :

\(\hept{\begin{cases}\widehat{B}hung\\\widehat{AFB}=\widehat{CEB}=90^o\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta ABF\) đồng dạng \(\Delta CBE\) (g.g)

\(\Rightarrow\frac{AB}{CB}=\frac{BF}{BE}\Rightarrow BE\cdot AB=BC\cdot BF\)

Chứng minh tương tự ta có : \(\Delta BDC\) đồng dạng \(\Delta AFC\) (g.g)

\(\Rightarrow\frac{DC}{FC}=\frac{BC}{AC}\Rightarrow CD\cdot AC=FC\cdot BC\)

Khi đó : \(BE.AB+CD.AC=BF.BC+FC.BC=BC.BC=BC^2\)

a, Xét \(\Delta AEC\)và \(\Delta ABD\)có 

\(\widehat{AEC}=\widehat{ADB}=90^0\)

\(\widehat{A}chung\)

\(\Rightarrow\)\(\Delta AEC\)\(đồng dạng\)\(\Delta ABD\)(g.g)

b, Vì  \(\Delta AEC\)\(đồng dạng\)\(\Delta ABD\)(g.g) nên \(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

Xét \(\Delta ADE\)và \(\Delta ABC\)có

​​​​​​​​\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)​,\(\widehat{A}\)chung

\(\Rightarrow\)​\(\Delta ADE\)​đồng dạng \(\Delta ABC\)(c.g.c)

Các câu còn lại khi nào rảnh giải tiếp :P

+) Kẻ: AJ // CI //EF; I; J thuộc BD và M thuộc EF

Xét \(\Delta\)BAJ  có: FM // AJ 

=> \(\frac{BA}{BF}=\frac{BJ}{BM}\)

Xét  \(\Delta\)BCI có: ME // IC 

=> \(\frac{BC}{BE}=\frac{BI}{BM}\)

Từ hai điều trên => \(\frac{BA}{BF}+\frac{BC}{BE}=\frac{BJ}{BM}+\frac{BI}{BM}=\frac{BI+BJ}{BM}\)(1)

Xét \(\Delta\)AJO và \(\Delta\)CIO  có:

OA = OC ( ABCD là hình bình hành) 

^AOJ = ^COI ( đối đỉnh)

^AJO = ^CIO ( AJ // CI , so le trong )

=> \(\Delta\)AJO = \(\Delta\)CIO ( g-c-g)

=> JO = IO 

KHi đó BI + BJ = BO + OI + BO - JO  = 2 BO +  (IO - JO) = 2 BO = 2.2. BM = 4BM ( vì M là trung điểm BO )

=> BI + BJ = 4BM Thế vào (1) 

=> \(\frac{BA}{BF}+\frac{BC}{BE}=\frac{4BM}{BM}=4\)(2)

+) Kẻ BH // BG //FK  với H; G thuộc AC

Chứng minh tương tự như trên ta suy ra: \(\frac{BA}{AF}+\frac{AD}{AK}=4\)(3)

Cộng (2) + (3) vế theo vế:

\(\frac{BA}{BF}+\frac{BC}{BE}+\frac{BA}{AF}+\frac{AD}{AK}=8\)mà AD = BC

=> \(AB\left(\frac{1}{BF}+\frac{1}{AF}\right)+BC\left(\frac{1}{BE}+\frac{1}{AK}\right)=8\)(4)

Mặt khác: \(\frac{1}{BF}+\frac{1}{AF}=\frac{1^2}{BF}+\frac{1^2}{AF}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{BF+AF}=\frac{4}{AB}\) và \(\frac{1}{BE}+\frac{1}{AK}\ge\frac{4}{BE+AK}\)

KHi đó: \(8\ge AB.\frac{4}{AB}+BC.\frac{4}{BE+AK}\)

<=> \(BE+AK\ge BC\)

Dấu "=" xảy ra <=> BF = AF  và BE = AK 

Hay F là trung điểm AB.