\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2019}< =>\frac{2019}{a}+\frac{2019}{b}=1< =>\frac{2019}{b}=\frac{a-2019}{a}=>a-2019=\frac{2019a}{b}.\)

tương tự \(b-2019=\frac{2019b}{a}\)

=> \(\sqrt{a-2019}+\sqrt{b-2019}=\sqrt{\frac{2019a}{b}}+\sqrt{\frac{2019b}{a}}=\sqrt{2019}\left(\frac{a+b}{\sqrt{ab}}\right)\)(1)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2019}=>ab=2019\left(a+b\right)\)thay vào (1) ta được

\(\sqrt{2019}\left(\frac{a+b}{\sqrt{2019\left(a+b\right)}}\right)=\sqrt{a+b}\)(chứng minh xong)

Có: \(\Delta=p^2+4>0\), mọi p 

=> phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt .

Áp dụng định lí Viet ta có:

\(x_1+x_2=-p\)

\(x_1.x_2=-1\)

Ta cần chứng minh với  n là số tự nhiên:  \(S_{n+2}=-pS_{n+1}+S_n\)  (1)

+)  Với  \(S_0=x_1^o+x_2^o=2\);\(S_1=-p\)

 \(S_2=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=p^2+2=-pS_1+S_2\)

=>(1)  đúng với  n = 0.

+) G/s : (1) đúng với  n

+) Chứng minh (1) đúng  (1) đúng với n +1

Ta có: \(S_{n+1}=x_1^{n+1}+x_2^{n+1}=\left(x_1^n+x_2^n\right)\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2\left(x_1^{n-1}+x_1^{n-2}\right)\)

\(=-pS_n+S_{n-1}\)

=> (1) đúng với n +1

Vậy với mọi số tự nhiên n: \(S_{n+2}=-pS_{n+1}+S_n\)(1)

G/s: \(\left(S_n;S_{n+1}\right)=d\)

=> \(\hept{\begin{cases}S_{n+1}=-pS_n+S_{n-1}⋮d\\S_n⋮d\end{cases}}\Rightarrow S_{n-1}⋮d\)

=> \(\hept{\begin{cases}S_n=-pS_{n-1}+S_{n-2}⋮d\\S_{n-1}⋮d\end{cases}}\Rightarrow S_{n-2}⋮d\)

.....

Cứ tiếp tự như vậy 

=> \(S_0⋮d;S_1⋮d\)

=> \(\hept{\begin{cases}2⋮d\Rightarrow d\in\left\{\pm1;\pm2\right\}\\-p⋮d\Rightarrow d\in\left\{\pm1;\pm p\right\}\end{cases}}\)

Mà p là số lẻ 

=> d =1

=> \(S_n;S_{n-1}\)là hai số nguyên tố cùng nhau.

\(ĐK:x\ge1,y\ge2,z\ge3\)

\(PT\Leftrightarrow\sqrt{x-1}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}+\sqrt{y-2}+\frac{1}{\sqrt{y-2}}+\sqrt{z-3}+\frac{1}{\sqrt{z-3}}=6\)

Theo bđt AM-GM thì \(VT\ge6\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}=\frac{1}{\sqrt{x-1}}=1\\\sqrt{y-2}=\frac{1}{\sqrt{y-2}}=1\\\sqrt{z-3}=\frac{1}{\sqrt{z-3}}=1\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\\z=4\end{cases}}\)

\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{a+1}{b^2+1}=\Sigma_{cyc}\left(\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\right)\)

\(=\left(a+b+c+3\right)-\Sigma_{cyc}\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\)

\(\ge6-\Sigma_{cyc}\frac{b\left(a+1\right)}{2}=6-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\)

\(\ge6-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a+b+c}{2}=3^{\left(đpcm\right)}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b =c = 1

Is that true?