Tỉ số bán kính hình tròn thứ nhất và hình tròn thứ hai là: \(\dfrac{3}{4}\)

Thì tỉ số diện tích hình tròn thứ nhất và hình tròn thứ hai là 

\(\dfrac{3}{4}\) \(\times\) \(\dfrac{3}{4}\) = \(\dfrac{9}{16}\)

Đáp số: \(\dfrac{9}{16}\)

Ta đặt:

\(A=1^n+2^n+3^n+4^n\)

Nếu n là số lẻ thì \(1^n+4^n⋮5;2^n+3^n⋮5\) 

Nên \(A⋮5\) 

Nếu n = 4K + 2 \(\left(k\in N\right)\) thì

\(A=1+2^{4K+2}+3^{4K+2}+4^{4K+2}=\left(1+4^{2K+1}\right)+\left(9^{2K+1}+16^{2K+1}\right)⋮5\)

Nếu n = 4K \(\left(K\in N\right)\) thì

\(A=1+2^{4K}+3^{4K}+4^{4K}=1+16^K+81^K+256^K\)

Có chữ số tận cùng là 4, không chia hết cho 5

\(\Rightarrow1^n+2^n+3^n+4^n⋮5\) khi \(n⋮̸4\left(đpcm\right)\)

\(\dfrac{1}{3\times7}\) + \(\dfrac{1}{7\times11}\)+\(\dfrac{1}{11\times15}\)+...+\(\dfrac{1}{a\times\left(a+4\right)}\) = \(\dfrac{49}{597}\)

(\(\dfrac{1}{3\times7}\)+ \(\dfrac{1}{7\times11}\)+\(\dfrac{1}{11\times15}\)+...+\(\dfrac{1}{a\times\left(a+4\right)}\))\(\times\)4 = \(\dfrac{49}{597}\)\(\times\) 4

\(\dfrac{4}{3\times7}\)+\(\dfrac{4}{7\times11}\)+\(\dfrac{4}{11\times15}\)+...+\(\dfrac{4}{a\times\left(a+4\right)}\) = \(\dfrac{196}{597}\)

\(\dfrac{1}{3}\) - \(\dfrac{1}{7}\) + \(\dfrac{1}{7}\) - \(\dfrac{1}{11}\) + \(\dfrac{1}{11}\)- \(\dfrac{1}{15}\)+...+ \(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a+4}\) = \(\dfrac{196}{597}\)

\(\dfrac{1}{3}\) - \(\dfrac{1}{a+4}\) = \(\dfrac{196}{597}\)

       \(\dfrac{1}{a+4}\) =\(\dfrac{1}{3}-\) \(\dfrac{196}{597}\)

       \(\dfrac{1}{a+4}\) = \(\dfrac{1}{199}\)

       \(a\) + 4 = 199

      \(a\)        = 199 - 4

      \(a\)       = 195 

X = {5; 7; 9; 11; 13;...;83}

Xét dãy số: 5; 7; 9;11; 13;...; 83

Dãy số trên là dãy số cách đều có khoảng cách là: 7 - 5 = 2

Phần tử thứ 11 của tập hợp X chính là số hạng thứ 11 của dãy số trên

Áp dụng công thức tính số thứ n của dãy số cách đều: 

St_n = số đầu + khoảng cách \(\times\)(n-1)

Số thứ 11 của dãy số trên là: 5 + 2 \(\times\) ( 11 - 1) = 25

Kết luận:

Phần tử đứng thứ 11 tính từ trái qua phải của tập hợp X khi các phần tử của tập hợp X được sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là: 25

14 con

Gỉa thiết tạm biết hiệu em nhé:

Nếu coi càng cua là chân cua thì mỗi con cua có số chân là:

8 + 2 = 10 chân

Giả sử tất cả đều là cua thì thì tổng số chân là:

10 \(\times\) 200 = 2000 (chân)

Số chân cua nhiều hơn số chân ếch là 2000 chân

So với đề bài thì thừa ra số chân là: 2000 - 180  = 1820 (chân)

Cứ thay một con cua bằng một con ếch thì số chân giảm là:

               10 + 4 = 14 (chân)

Số con ếch là: 1820: 14 = 130 (con)

Số cua là: 200 - 130 = 70 (con)

Đáp số: Cua 70 con; ếch 130 con

Thử lại kết quả ta có: Tổng số cua và ếch là: 70 + 130 = 200 (ok)

Số chân cua nhiều hơn số chân ếch là:

70 \(\times\) 10 - 130 \(\times\) 4 = 180 (ok) Vậy kết quả bài toán là đúng em nhé 

a) \(A=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{2009.2010}\)

\(A=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2009}-\dfrac{1}{2010}\)

\(A=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2010}\)

\(A=\dfrac{2009}{2010}\)

b) \(B=\dfrac{2}{1.3}+\dfrac{2}{3.5}+\dfrac{2}{5.7}+...+\dfrac{2}{2009.2011}\)

\(B=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{2009}-\dfrac{1}{2011}\)

\(B=1-\dfrac{1}{2011}\)

\(B=\dfrac{2010}{2011}\)

b) B= \(\dfrac{2}{1.3}\)+ \(\dfrac{2}{3.5}\)+ ... + \(\dfrac{2}{2010.2012}\)

B= 1 - \(\dfrac{1}{3}\)+ \(\dfrac{1}{3}\) - \(\dfrac{1}{5}\)+...+ \(\dfrac{1}{2010}\) - \(\dfrac{1}{2012}\)

B= 1 - \(\dfrac{1}{2012}\)

B= \(\dfrac{2011}{2012}\)

\(\dfrac{1}{3\times7}+\dfrac{1}{7\times11}+\dfrac{1}{11\times15}+...+\dfrac{1}{a\times\left(a+4\right)}=\dfrac{50}{609}\)

\(\dfrac{1}{4}\times\left(\dfrac{4}{3\times7}+\dfrac{4}{7\times11}+...+\dfrac{4}{a\times\left(a+4\right)}\right)=\dfrac{50}{609}\)

\(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{11}+...+\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a\times4}=\dfrac{50}{609}\div\dfrac{1}{4}\)

\(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{a\times4}=\dfrac{200}{609}\)

\(\dfrac{1}{a\times4}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{200}{609}\)

\(\dfrac{1}{a\times4}=\dfrac{1}{203}\)

\(a\times4=203\)

\(a=\dfrac{203}{4}\)

 \(\dfrac{1}{3\times7}\)+\(\dfrac{1}{7\times11}\)+\(\dfrac{1}{11\times15}\)+...+\(\dfrac{1}{a\times\left(a+4\right)}\)  = \(\dfrac{50}{609}\)

 4\(\times\)( \(\dfrac{1}{3\times7}\) +\(\dfrac{1}{7\times11}\)+\(\dfrac{1}{11\times15}\)+...+\(\dfrac{1}{a\times\left(a+4\right)}\)) = \(\dfrac{50}{609}\) \(\times\)4

\(\dfrac{4}{3\times7}\)+ \(\dfrac{4}{7\times11}\)+\(\dfrac{1}{11\times15}\)+...+\(\dfrac{4}{a\times\left(a+4\right)}\) = \(\dfrac{50}{609}\) \(\times\) 4

\(\dfrac{1}{3}\) - \(\dfrac{1}{7}\) + \(\dfrac{1}{7}\) - \(\dfrac{1}{11}\) + \(\dfrac{1}{11}\)-\(\dfrac{1}{15}\)+...+\(\dfrac{1}{a}\)-\(\dfrac{1}{a+4}\) = \(\dfrac{200}{609}\)

\(\dfrac{1}{3}\) - \(\dfrac{1}{a+4}\) = \(\dfrac{200}{609}\)

         \(\dfrac{1}{a+4}\) = \(\dfrac{1}{3}\) - \(\dfrac{200}{609}\)

           \(\dfrac{1}{a+4}\) = \(\dfrac{1}{203}\)

             a + 4  = 203

                 \(a\) = 203 - 4

                 \(a\) = 199

Đáp số: \(a\) = 199 

Dùng phương pháp giải ngược của tiểu học

Nếu lần thứ ba bà không bán thêm 1 quả thì số cam còn lại sau ba lần bán là:

                         3 + 1 = 4 (quả)

4 quả cam ứng với số phần là:

1-\(\dfrac{2}{3}\)=\(\dfrac{1}{3}\)(số cam còn lại sau lần bán thứ hai)

Số cam còn lại sau lần bán thứ hai là:

4 : \(\dfrac{1}{3}\) =  12 (quả)

Nếu lần thứ hai bà không bán thêm 2 quả thì số cam còn lại là:

12 + 2 = 14 (quả)

14 quả ứng với phân số là:

1 - \(\dfrac{3}{4}\)  = \(\dfrac{1}{4}\)(số cam còn lại sau lần bán thứ nhất)

Số cam còn lại sau lần bán thứ nhất là:

14 : \(\dfrac{1}{4}\) = 56 (quả)

Nếu lần thứ nhất bà không bán thêm 1 quả thì số cam còn lại là:

56 + 1  = 57 (quả)

57 quả ứng với phân số là:

1 - \(\dfrac{1}{2}\) = \(\dfrac{1}{2}\)(số cam)

Ban đầu bà có tất cả số cam là:

57 : \(\dfrac{1}{2}\) = 114 (quả)

Đáp số: 114 quả

Đáp án:

$36$ quả

Phân số chỉ số cam còn lại sau lần bán thứ $1$ là :

$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ (số cam)

Phân số chỉ số cam bán lần $2$ là :

$\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ (số cam)

Phân số chỉ $6$ quả cam là :

$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ (số cam)

Lúc đầu bà có số quả cam là :

$6:\frac{1}{6}=36$ (quả)

Đáp số : $36$ quả