`(5x-4)^2-49x^2=0`

`<=>(5x-4-7x)(5x-4+7x)=0`

`<=>(-2x-4)(12x-4)=0`

`<=>` $\left[\begin{matrix} x=-2\\ x=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.$

Vậy \(S={-2;\dfrac{1}{3}}\)

\(\left(5x-4\right)^2=\left(7x\right)^2\)

\(\left[{}\begin{matrix}5x-4=7x\\5x-4=-7x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(x\left(x-4\right)-5\left(x-4\right)=0\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(x-4\right)=0\Leftrightarrow x=4;x=5\)

.

Lời giải:
\(\sqrt{41-12\sqrt{5}}+\sqrt{41-12\sqrt{5}}=2\sqrt{41-12\sqrt{5}}=2\sqrt{6^2-2.6\sqrt{5}+5}\)

\(=2\sqrt{(6-\sqrt{5})^2}=2|6-\sqrt{5}|=2(6-\sqrt{5})\)

\(=\sqrt{41-2.6\sqrt{5}}+\sqrt{41-2.6\sqrt{5}}\)

\(=\sqrt{\left(6-\sqrt{5}\right)^2}+\sqrt{\left(6-\sqrt{5}\right)^2}=\left|6-\sqrt{5}\right|+\left|6-\sqrt{5}\right|=2\left(6-\sqrt{5}\right)=12-2\sqrt{5}\)

Lời giải:
Vì $D,E,F$ là trung điểm của $AB,AC,BC$ nên:

$DE$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $BC$

$EF$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $AB$

$DF$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $AC$

Suy ra:

$DE=\frac{1}{2}BC=7$ (cm) 

$EF=\frac{1}{2}AB=3$ (cm) 

$DF=\frac{1}{2}AC=5$ (cm) 

Chu vi tam giác $DEF$: $7+3+5=15$ (cm)

Hình vẽ:

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là : \(x-1;x;x+1\). Ta có :

\(x\left(x-1\right)+x\left(x+1\right)+\left(x-1\right)\left(x+1\right)=43\)

Sau khi rút gọn, ta được

\(3x^2-1-43\) nên \(x^2=\dfrac{44}{3}\)

\(\Leftrightarrow\) Không tính được \(x\)

Sai đề ?

\(x^3-x^2=4x^2-8x+4\)

=> \(x^2\left(x-1\right)=4\left(x^2-2x+1\right)\)

=> \(x^2\left(x-1\right)=4\left(x-1\right)^2\)

=> \(x^2\left(x-1\right)-4\left(x-1\right)^2=0\)

=> \(\left(x-1\right)\left(x^2-4x+4\right)=0\)

=> \(\left(x-1\right)\left(x-2\right)^2=0\)

=> \(x-1=0\) hoặc \(x-2=0\)

=> x = 1 hoặc x = 2

\(x^3-x^2=4x^2-8x+4\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-1\right)=4\left(x-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-1\right)-\left(4x-4\right)\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-4x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\\left(x-2\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)

Vậy \(S=\left\{1;2\right\}\)

\(x^2+4x-x^2+x=5\Leftrightarrow5x=5\Leftrightarrow x=1\)

\(x^2-x-6-x^2+3x+4=6\Leftrightarrow2x-2=6\Leftrightarrow x=4\)

`(x+4).x -(x-1).x = 5`

`x^2+4x - x^2 + x = 5`

`=> 5x = 5`

`=> x=1`

________________________

`(x+2)(x-3)-(x-4)(x+1)=6`

`x^2-x-6 - x^2-3x-4=6`

`-4x - 10=6`

`=> -4x = 16`

`=> x = -4`

Áp dụng BĐT Caushy ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+4\ge4a\\b^2+4\ge4b\\6\left(a^2+b^2\right)\ge6.2ab=12ab\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow7\left(a^2+b^2\right)+8\ge4a+4b+12ab=4\left(a+b+3ab\right)=4.16=64\)

\(\Rightarrow7A\ge56\Rightarrow A\ge8\)

Vậy GTNN của biểu thức \(A=a^2+b^2\) là 8, đạt được khi \(a=b=2\).

A = n² + n + 2 

giả sử A chia hết cho 6  (phương pháp phản chứng , giả sử điều gì đó là đúng dẫn đến điều khác là đúng nhưng điều khác không bao giờ đúng dẫn đến điều giả sử là sai gọi là phản chứng )

     giả sử A ⋮ 6 ⇔ A ⋮ 3 ⇔ n² + n + 2 ⋮ 3  ⇔ n² + n : 3 dư 1 

nếu n ⋮ 3 ⇔ n² + n  ⋮ 3 (vô lý)

nếu n chia 3 dư 1 ⇔ n² : 3 dư 1 (một số chính phương chia 3 chỉ có thể dư 1 hoặc không dư )

⇔ n² + n : 3 dư 2 (vô lý)

nếu n : 3 dư 2 ⇔ n² : 3 dư 1 ( 1 số chính phương chia cho 3 chỉ có thể dư 1 hoặc không dư)

⇔ n² + n ⋮ 3 (vô lý)

vậy n² + n + 2 không chia hết cho 6 

A = (5n-3)(4n+5)-4n(5n-3)-(8n+19)

A = (5n-3)(4n+5-4n) -8n -19

A = 5 (5n-3) -8n - 19

A = 25n - 15 -8m -19

A = 17n - 34

A = 17 (n-2)

⇔ A ⋮ 17 ∀ n ϵ N