a, Cứ 1 đường thẳng sẽ tạo với 20 -1 đường thẳng còn lại 20 - 1 giao điểm

Với 20 đường thẳng tạo được số giao điểm là: ( 20 - 1) \(\times\) 20

Theo cách tính trên mỗi đường thẳng được tính hai lần nên số giao điểm được tạo là:

            ( 20 - 1)\(\times\) 20 : 2 = 190 ( giao điểm)

b, Cứ 1 điểm sẽ tạo với 10 - 1 điểm còn lại 10 - 1 đường thẳng

     Với 10 điểm sẽ tạo được số đường thẳng là: ( 10 - 1) \(\times\) 10

       Theo cách tính trên mỗi đường thẳng được tính hai lần số đường thẳng là:

             ( 10 - 1)\(\times\) 10 : 2 = 45 ( đường thẳng)

A           =  1 + 3³ + 3⁴ + 3⁵ +......+ 3¹⁰⁰

A\(\times\)  3   =       3   + 3⁴ + 3⁵ +.......+ 3¹⁰⁰ + 3¹⁰¹

3A - A   =  3 + 3¹⁰¹ - 1 - 3³

2A        = 3¹⁰¹ - 25

Giả sử A ⋮ 91 ⇒ A ⋮ 7; 13

Vì 2 không chia hết cho 7; 13 ⇒ 3¹⁰¹ - 25 ⋮ 7

Đặt B = 3¹⁰¹ - 25 = (3³)³³.3² - 25 = 27³³.9 - 25

    27 \(\equiv\) - 1 (mod 7) ⇒ (27)³³ \(\equiv\) (-1)³³(mod 7)

⇒ 27³³ \(\equiv\) -1 (mod 7)

    9      \(\equiv\) 2 (mod 7)

⇒ 27³³.9 \(\equiv\) -1.2 (mod 7)

⇒ 27³³.9 \(\equiv\) -2 (mod 7)

       25   \(\equiv\)  4 (mod 7)

⇒ 27³³.9 - 25 \(\equiv\) -2 - 4 (mod 7) 

⇒ B \(\equiv\) - 6 (mod 7) ⇒ B không chia hết cho 7 trái với giả thiết vậy điều giả sử là sai

A không thể chia hết cho 91 xem lại đề nhé em 

M =  \(\dfrac{3n+19}{n-1}\)

M \(\in\)N* ⇔ 3n + 19 ⋮ n - 1

           ⇔ 3n - 3 + 22 ⋮ n - 1

         ⇔ 3( n -1) + 22 ⋮ n - 1

         ⇔ 22 ⋮ n - 1

        ⇔  n - 1 ⋮ \(\in\){ -22; -11; -2; -1; 1; 2; 11; 22}

        ⇔ n \(\in\) { -21; -10; -1; 0; 2; 3; 12; 23}

          Vì n \(\in\) N* ⇒ n \(\in\) {0; 2; 3; 12; 23}

b, Gọi d là ước chung lớn nhất của 3n + 19 và n - 1

Ta có:  \(\left\{{}\begin{matrix}3n+19⋮d\\n-1⋮d\end{matrix}\right.\) 

        ⇒  \(\left\{{}\begin{matrix}3n+19⋮d\\3n-3⋮d\end{matrix}\right.\)

     Trừ vế cho vế ta được: 

           3n + 19 - (3n - 3) ⋮ d

       ⇒ 3n + 19 - 3n + 3 ⋮ d

       ⇒ 22 ⋮ d 

Ư(22) = { - 22;  -11; -2; -1; 1; 2; 22}

⇒ d \(\in\) {1; 2; 11; 22}

nếu n chẵn 3n + 19 lẻ; n - 1 lẻ => d không chia hết cho 2, không chia hết cho 22

nếu n # 11k + 1 => n - 1 # 11k => d không chia hết cho 11

Vậy để phân số M tối giản thì

n \(\in\) Z = { n \(\in\) Z/ n chẵn và n # 11k + 1 ; k \(\in\)Z}

SOS

     3a + 2b ⋮ 11

⇒7(3a + 2b) ⋮ 11

⇒ 21a + 14 b ⋮ 11

⇒ 11a + 10a + 11b + 3b ⋮ 11

⇒ (11a+11b ) + 10a + 3b ⋮ 11

⇒11(a+b) + 10a + 3b ⋮ 11

⇒ 10a + 3b ⋮ 11 (đpcm)

Giúp mình với 

Phân số chỉ số kẹo của An so với tổng số kẹo của mẹ là:

1 : ( 1 + 2) = \(\dfrac{1}{3}\) ( tổng số kẹo)

Phân số chỉ số kẹo của người em thứ hai so với tổng số kẹo của mẹ là:

1 : ( 1 +3) = \(\dfrac{1}{4}\) ( tổng số kẹo)

Phân số chỉ số kẹo của người em thứ ba là:

3 : ( 3+7) = \(\dfrac{3}{10}\) ( tổng số kẹo)

Phân số chỉ 140 cái kẹo là:

1 - \(\dfrac{1}{3}\) - \(\dfrac{1}{4}\) - \(\dfrac{3}{10}\) = \(\dfrac{7}{60}\) ( tổng số kẹo)

Gói kẹo mẹ mua có số cái kẹo là:

140 : \(\dfrac{7}{60}\) = 1 200 ( cái)

Số kẹo của An là:

1 200 \(\times\) \(\dfrac{1}{3}\) = 400 ( cái)

Số kẹo của người em thứ hai là:

1 200 \(\times\) \(\dfrac{1}{4}\) = 300 ( cái)

Số kẹo của người em thứ ba là:

1 200  \(\times\) \(\dfrac{3}{10}\) = 360 ( cái)

Kết luận.... 

A = \(\dfrac{4}{3}\) \(\times\) \(\dfrac{9}{8}\) \(\times\) \(\dfrac{16}{15}\) \(\times\) ....... \(\times\) \(\dfrac{400}{399}\)

Đặt tử số là B; mẫu số là C ta có:

B = 4 \(\times\) 9 \(\times\) 16 \(\times\).....\(\times\) 400

B = 2² \(\times\) 3² \(\times\) 4² \(\times\) ......\(\times\) 20²

B = 2² \(\times\)( 3 \(\times\) 4 \(\times\) .......\(\times\) 19)² \(\times\) 20²

C = 3 \(\times\) 8 \(\times\) 15 \(\times\) ......\(\times\) 339

3      =   1 \(\times\)  3

8      =    2  \(\times\) 4

15    =    3   \(\times\) 5

..........................

399 =   19 \(\times\) 21 

Nhân vế với vết ta được:

C = 1 \(\times\) 2 \(\times\) 3 \(\times\) 4\(\times\)....\(\times\)19\(\times\)3 \(\times\) 4 \(\times\) 5 \(\times\).....\(\times\)21

C = 1 \(\times\) 2 \(\times\)( 3 \(\times\) 4 \(\times\).....\(\times\) 19)² \(\times\) 20 \(\times\) 21

A = \(\dfrac{2^2\times\left(3\times4\times...\times19\right)^2\times20^2}{1\times2\times\left(3\times4\times....\times19\right)^2\times20\times21}\)

A = \(\dfrac{2\times\left(3\times4\times...\times19\right)^2\times20}{2\times\left(3\times4\times...\times19\right)^2\times20}\) \(\times\) \(\dfrac{2\times20}{1\times21}\)

A = 1 \(\times\) \(\dfrac{40}{21}\)

A = \(\dfrac{40}{21}\)

           A =       \(\dfrac{1}{6}\) + \(\dfrac{1}{36}\) + .....+ \(\dfrac{1}{6^n}\)

          A =        \(\dfrac{1}{6}\) + \(\dfrac{1}{6^2}\) +.....+\(\dfrac{1}{6^{n-1}}\) + \(\dfrac{1}{6^n}\)  

A \(\times\) 6    =  1 + \(\dfrac{1}{6}\) + \(\dfrac{1}{6^2}\)+.....+\(\dfrac{1}{6^{n-1}}\)

A \(\times\) 6 - A = 1 - \(\dfrac{1}{6^n}\)

         5A =  1 - \(\dfrac{1}{6^n}\)

          A = ( 1 - \(\dfrac{1}{6^n}\)): 5

\(=\dfrac{3^{10}.3.11+\left(-1\right).3^{11}.\left(-1\right).3.7}{3^9.2^5}\\ =\dfrac{3^{11}.11+3^{12}.7}{3^9.2^5}\\ =\dfrac{3^9\left(3^2.11+3^3.7\right)}{3^9.2^5}\\ =\dfrac{9.11+27.7}{2^5}\\ =\dfrac{99+189}{32}\\ =\dfrac{288}{32}=9\)

A = \(\dfrac{3^{10}.33+\left(-3\right)^{11}.\left(-21\right)}{3^9.2^5}\)

A = \(\dfrac{3^{10}.3.11-3^{11}.\left(-21\right)}{3^9.2^5}\)

A = \(\dfrac{3^{11}.11+3^{11}.21}{3^9.2^5}\)

A = \(\dfrac{3^{11}.\left(11+21\right)}{3^9.2^5}\)

A = \(\dfrac{3^{11}.32}{3^9.32}\)

A = 3²

A = 9 

\(=\dfrac{3^{10}.33+\left(-3\right)^{11}.\left(-21\right)}{3^9.2^5}\\ =\dfrac{3^{10}.3.11+3^{11}.3.7}{3^9.2^5}\\ =\dfrac{3^{11}.11+3^{12}.7}{3^9.2^5}\\ =\dfrac{3^9\left(3^2.11+3^3.7\right)}{3^9.2^5}\\ =\dfrac{\left(9.11+27.7\right)}{2^5}\\ =\dfrac{99+189}{32}\\ =\dfrac{288}{32}=9\)