Đặt \(a^2=p\left(p\ge0\right)\), khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương \(p^3+1\ge p\left(p+1\right)\) \(\Leftrightarrow p^3+1-\left(p+1\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow p\left(p+1\right)^2\ge0\) (luôn đúng do \(p\ge0\))

Như vậy ta có đpcm.

Mình sửa lại chút nhé

\(p^3+1-p\left(p+1\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\ge0\) (luôn đúng)

Lời giải:

ĐKXĐ: $x\geq 0; x\neq 16$

a. Khi $x=36$ thì:

\(A=\frac{\sqrt{36}+4}{\sqrt{36}+2}=\frac{6+4}{6+2}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}\)

b. 

\(B=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-4)+4(\sqrt{x}+4)}{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4)}.\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}\)

\(=\frac{x+16}{x-16}.\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}\)

c. 

\(B(1-A)=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}(1-\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2})=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}.\frac{-2}{\sqrt{x}+2}=\frac{-2}{x-16}\)

Để $B(1-A)$ nguyên thì $x-16$ là ước của $-2$

$\Rightarrow x-16\in\left\{\pm 1; \pm 2\right\}$

$\Rightarrow x\in\left\{17; 15; 14; 18\right\}$ (đều thỏa mãn ĐKXĐ)

a. Thay x = 36 vào A ta được:

\(A=\dfrac{\sqrt{36}+4}{\sqrt{36}+2}=\dfrac{6+4}{6+2}=\dfrac{10}{8}=\dfrac{5}{4}\)

b. Rút gọn B

\(B=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}+\dfrac{4}{\sqrt{x}-4}\right)\div\dfrac{x+16}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-4\right)+4\left(\sqrt{x}+4\right)}{\left(\sqrt{x}-4\right)\left(\sqrt{x}+4\right)}\times\dfrac{\sqrt{x}+2}{x+16}\)

\(=\dfrac{x-4\sqrt{x}+4\sqrt{x}+16}{x-16}\times\dfrac{\sqrt{x}+2}{x+16}=\dfrac{x+16}{x-16}\times\dfrac{\sqrt{x}+2}{x+16}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-16}\)

c. Ta có: 

\(B\left(1-A\right)=\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-16}\left(1-\dfrac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}\right)=\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-16}\times\dfrac{\sqrt{x}+2-\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{-2}{x-16}\)

Để biểu thức B(1-A) nguyên thì \(\dfrac{-2}{x-16}\) nguyên.

Khi đó x - 16 là ước của -2 và x khác 16

Ta có:

x - 16 = 1 => x = 17

x - 16 = -1 => x = 15

x - 16 = 2 => x = 18

x - 16 = -2 => x = 14

Vậy có 4 giá trị x thõa mãn bài toán là : 14;15;17;18

vì x , y > 0 ta có 

(\(\sqrt{x}\) - \(\sqrt{y}\))² ≥ 0 ( ∀ x,y  >0

⇔ x  -2\(\sqrt{xy}\)  + y  ≥ 0 ( ∀ x,y >0)

⇔ x + y ≥ 2\(\sqrt{xy}\) (đpcm)

- Vì ΔABC nội tiếp đường tròn đường kính BC.

\(\Rightarrow\)ΔABC vuông tại A.

\(BC=BH+CH=9+16=25\left(cm\right)\)

- ΔABC vuông tại A, AH là đường cao.

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH.BC\\AC^2=CH.BC\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{BH.BC}=\sqrt{9.25}=15\left(cm\right)\\AC=\sqrt{CH.BC}=\sqrt{16.25}=20\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

*Hạ \(OE\perp AB\) tại E, \(OF\perp AC\) tại F.

- ΔABC có:

OE//AC, OF//AB, O là trung điểm BC.

\(\Rightarrow\)E là trung điểm AB, F là trung điểm AC.

\(\Rightarrow\)OE, OF là đường trung bình.

\(\Rightarrow OE=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{20}{2}=10\left(cm\right)\); \(OF=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{15}{2}=7,5\left(cm\right)\)

- Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là 7,5 cm, đến dây AC là 10 cm.

\(P=a-2\sqrt{a}=\left(a-2\sqrt{a}+1\right)-1=\left(\sqrt{a}-1\right)^2-1\ge-1\)

\(MinP=-1\Leftrightarrow\sqrt{a}=1\Leftrightarrow a=1\left(tmĐKXĐ\right)\)

\(\Rightarrow a_0=1\)

Vậy \(E=1^2+1=2\)

điều kiện \(x\ge-3\)

Nhận thấy \(x^2+8x+15=\left(x+3\right)\left(x+5\right)\) nên pt đã cho \(\Leftrightarrow\sqrt{x+3}+3x\sqrt{x+5}-3x-\sqrt{\left(x+3\right)\left(x+5\right)}=0\) 

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+3}\left(1-\sqrt{x+5}\right)-3x\left(1-\sqrt{x+5}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-\sqrt{x+5}\right)\left(\sqrt{x+3}-3x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+5}=1\\\sqrt{x+3}=3x\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+5=1\\x+3=9x^2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-4\left(loại\right)\\9x^2-x-3=0\end{matrix}\right.\)

Xét pt \(9x^2-x-3=0\) có \(\Delta=\left(-1\right)^2-4.9.\left(-3\right)=109>0\) nên pt này luôn có 2 nghiệm phân biệt: 

\(x_1=\dfrac{-\left(-1\right)+\sqrt{109}}{2.9}=\dfrac{1+\sqrt{109}}{18}\) và \(x_2=\dfrac{1-\sqrt{109}}{18}\)(nhận cả 2 nghiệm.

Vậy pt đã cho có tập nghiệm \(S=\left\{\dfrac{1\pm\sqrt{109}}{18}\right\}\)

\(\sqrt{x+3}+3x.\sqrt{x+5}=3x+\sqrt{x^2+8x+15}\)      (\(x\ge-3\))

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+3}+3x.\sqrt{x+5}=3x+\sqrt{x+3}.\sqrt{x+5}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+3}.\left(1-\sqrt{x+5}\right)-3x.\left(1-\sqrt{x+5}\right)=0\)

\(\left(\sqrt{x+3}-3x\right).\left(1-\sqrt{x+5}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+3=9x^2\\x+5=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}9x^2-x-3=0\\x=-4\left(KTM\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left(3x\right)^2-2.3x.\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{36}-\dfrac{1}{36}-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x-\dfrac{1}{6}\right)^2-\dfrac{109}{36}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x-\dfrac{1}{6}-\dfrac{\sqrt{109}}{6}\right).\left(3x-\dfrac{1}{6}+\dfrac{\sqrt{109}}{6}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+\sqrt{109}}{18}\left(TM\right)\\x=\dfrac{1-\sqrt{109}}{18}\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy

hỏi gỉ giợ

Ta có \(\Delta\)ABC vuông tại A 

=> \(BC^2=AC^2+AB^2\)(Định lý pitago)

Thay AC = 12, AB = 8, ta có

\(BC^2=12^2+8^2\)

       \(=144+64=208\)

=> \(BC=\sqrt{208}=\text{14.42220510185596}\)

Kiểu như vậy đấy :)