Áp dụng Bđt Cosi

\(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

Ta có:

\(\frac{2}{xy+yz+zx}+\frac{2}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\ge\frac{2}{\frac{1}{3}}+\frac{8}{\left(x+y+z\right)^2}\ge14\) (Đpcm)

Dấu "=" khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Hình như có 2 TH nhỉ?

a, Chọn gốc tọa độ ở A, chiều dương từ A\(\rightarrow\)B, gốc thời gian lúc 8h.

\(x_1=x_{01}+v_1t=60t\)

\(x_2=x_{02}+v_2t=20+40t\)

 b, Khi hai xe gặp nhau \(x_1=x_2\Leftrightarrow\begin{cases}t=1h\\x=60km\end{cases}\)

 Hai xe gặp nhau lúc 9h và cách A 60km

c, Khoảng cách giữa hai xe lúc 9h30’:

\(\Delta x=\left|x_2-x_1\right|=10km\)

a) Chọn trục Ox trùng với đường thằng AB, gốc O trùng với A, chiều AB là chiều dương. Chọn gốc thời gian là lúc xuất phát.
 

Chuyển động của xe ở A: vA=60vA=60km/h; x01=0x01=0.
Phươn trình chuyển động của xe: xA=60txA=60t (km).
Chuyển động của xe ở B: vB=40vB=40km/h; x02=20x02=20km.
Phương trình chuyển động: xB=20+40txB=20+40t (km).

b) Khi hai xe gặp nhau thì xA=xB⇔60t=20+40t⇒t=1hxA=xB⇔60t=20+40t⇒t=1h  và xA=xB=60xA=xB=60km.
Vậy : Hai xe gặp nhau tại vị trí cách A 6060km vào lúc tt=11h.

Chứng minh khá dài ấy :)

Ta cần chứng minh : \(\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1.a_2...a_n}\) với \(n\in N^{\text{*}}\)

Hiển nhiên bđt đúng với n = 2 , tức là \(\frac{a_1+a_2}{2}\ge\sqrt{a_1a_2}\) (1)

Giả sử bđt đúng với n = k , tức là \(\frac{a_1+a_2+...+a_k}{k}\ge\sqrt[k]{a_1.a_2...a_k}\) với \(k>2\)

Ta sẽ chứng minh bđt cũng đúng với mọi n = k + 1 

Không mất tính tổng quát, đặt \(a_1\le a_2\le...\le a_k\le a_{k+1}\)

thì : \(a_{k+1}\ge\frac{a_1+a_2+...+a_k}{k}\) . Lại đặt \(\frac{a_1+a_2+...+a_k}{k}=x,x\ge0\)

\(\Rightarrow a_{k+1}=x+y,y\ge0\) và \(x^k=a_1.a_2...a_k\) (suy ra từ giả thiết quy nạp)

Ta có : \(\left(\frac{a_1+a_2+...+a_{k+1}}{k+1}\right)^{k+1}=\left(\frac{kx+x+y}{k+1}\right)^{k+1}=\left(\frac{x\left(k+1\right)+y}{k+1}\right)^{k+1}=\left(x+\frac{y}{k+1}\right)^{k+1}\)

                                            \(\ge x^{k+1}+\left(k+1\right).\frac{y}{k+1}.x^k=x^{k+1}+y.x^k=x^k\left(x+y\right)\ge a_1.a_2...a_k.a_{k+1}\)

Suy ra \(\left(\frac{a_1+a_2+...+a_{k+1}}{k+1}\right)^{k+1}\ge\sqrt[k+1]{a_1.a_2...a_{k+1}}\)

Vậy bđt luôn đúng với mọi n > 2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

Ta có ADIE và BDCE là các tứ giác nội tiếp nên $\widehat{AID}=\widehat{AEI}=\widehat{ABC}$.

Suy ra BDIM nội tiếp.

Suy ra $AI.AM=AD.AB=AM^2-BM^2=3BM^2$ (vì AM=BC)

Suy ra $AI=\dfrac{3}{2}BM$ và $IM=AM-AI=\dfac{1}{2}BM$

Do đó $MI.MA=BM^2$, suy ra hai tam giác BIM và ABM đồng dạng theo c.g.c

Suy ra $\widehat{BIM}=\widehat{BAM}=\widehat{BCJ}$

Suy ra BI//CJ. Theo Talet thì $\dfrac{BI}{CJ}=\dfrac{BM}{CM}=1$.

Vậy $BICJ$ là hình bình hành.

Bài 11:Cho đường tròn(O) đường kính AB=2R. Điểm C thuộc đường tròn(C không trùng với A và B).Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C kẻ tiếp tuyến à với (O).Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AC. Tia BC cắt Ax tại Q,AM cắt BC tại N, AC cắt BM tại P.

a) Gọi K là điểm chính giữa cung AB(cung không chứa C).HỎi có thể xảy ra trường hợp 3 điểm Q,M,K thẳng hàng không?

b) Xác định vị trí của C trên nửa đường tròn tâm O để đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ tiếp xúc với (O).

Bài 12: Cho tứ giác ABCD có đường chéo BD không là phân giác của góc ABC và góc CDA.Một điểm P nằm trong tứ giác sao cho góc PBC=góc DBA; góc PDC = góc BDA.Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi AP=CP

Bài 13:Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2p không đổi ngoại tiếp 1 đường tròn(O).Dựng tiếp tuyến MN với (O) sao cho MN song song với AC;M thuộc cạnh AB,N thuộc cạnh BC.Tính AC theo p để độ dài đoạn MN đạt giá trị lớn nhất.

Bài 14: Trong một tam giác cho trước hãy tìm bán kính lớn nhất của hai đường tròn bằng nhau tiếp xúc ngoài nhau đồng thời mỗi đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của tam giác đó.

Bài 15: Trên cạnh AB của tam giác ABC lấy một điểm D sao cho đường tròn nột tiếp tam giác ACD và BCD bằng nhau

a) Tính đoạn CD theo các cạnh của tam giác

b)CMR: Điều kiện cần và đủ để góc C = 90 độ là điện tích tam giác ABC bằng diện tích hình vuông cạnh CD

Bài 16: Cho hình thang vuông ABCD có AB là cạnh đáy nhỏ,CD là cạnh đáy lớn,M là giao của AC và BD.Biết rằng hình thang ABCD ngoại tiếp đường tròn bán kính R.Tính diện tích tam giác ADM theo R

Bài 17:Cho tam giác ABC không cân,M là trung điểm cạnh BC,D là hình chiếu vuông góc của A trên BC; E và F tương ứng là các hình chiếu vuông góc của B và C trên đường kính đi qua A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.CMR: M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF

Bài 18: Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B, Tia Cx vuông góc với AB.Trên tia Cx lấy D và E sao cho CECB=CACD=3√CECB=CACD=3. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC tại H(H khác C). CMR: HC luôn đi qua một điểm cố định khi C chuyển động trên đoạn AB.Bài toán còn đúng không khi thay 3√3 bởi m cho trước(m>0)

Bài 19: Cho tam giác ABC nhọn và điểm M chuyện động trên đường thẳng BC.Vẽ trung trực của các đoạn BM và CM tương ứng cắt các đường thẳng AB và AC tại P và Q.CMR: Đường thẳng qua M và vuông góc với PQ đi qua 1 điểm cố định

Bài 20: Cho tam giác ABC và một đường tròn (O) đi qua A và C.Gọi K và N là các giao điểm của (O) với các cạnh AB,C.ĐƯờng tròn (O1) và (O2) ngoại tiếp tam giác ABC và tam giác KBN cắt nhau tại B và M.CMR: O1O2 song song với OM

hộ t 1 số bài tập với

Lời giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử \(c=\min (a,b,c)\). Khi đó từ \(ab+bc+ac=3\Rightarrow ab\geq 1\)

Ta có bổ đề sau: Với \(a,b>0,ab\geq 1\) thì \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}\)

Cách chứng minh bổ đề rất đơn giản, chỉ cần quy đồng ta có ngay đpcm

-----------------------------------------

Quay trở lại bài toán. Áp dụng bổ đề trên:

\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{2}{ab+1}+\frac{1}{c^2+1}\)

Ta sẽ CM \(\frac{2}{ab+1}+\frac{1}{c^2+1}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{2c^2+3+ab}{abc^2+ab+c^2+1}\geq\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow c^2+3\geq 3abc^2+ab\Leftrightarrow c^2+bc+ca\geq 3abc^2\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\geq 3abc\)

BĐT trên hiển nhiên đúng vì theo AM-GM ta có:

\(a+b+c\geq \sqrt{3(ab+bc+ac)}=3\) và \(3=ab+bc+ac\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow 3abc\leq 3\)

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)

giai thich > Không mất tính tổng quát, giả sử c=min(a,b,c)c=min(a,b,c) . Khi đó từ ab+bc+ca=3 ⇒ab≥1

ab<1 thi sao

khó

a) P' ( 3;1)

b)đường thẳng qua P và vuông góc với d là :  \(d':\frac{x-3}{4}=\frac{y+2}{3}\) giao của d và d' là P' 

c) tương tự b) với  d' : 12(x-3) +5(y +2) =0

Giải theo cách dùng định luật bảo toàn nhé.

Chọn mốc thế năng tại chân mặt phẳng nghiêng.

Độ cao của mặt phẳng nghiêng là: \(h=L\sin30^0=5m\)

Lực ma sát tác dụng lên vật: \(F_{ms}=\mu.N=\mu.mg\cos30^0=\dfrac{\sqrt 3}{2}m\)

Cơ năng khi vật ở đỉnh mặt phẳng nghiêng là: \(W_1=m.g.h=50m\)

Cơ năng khi vật ở chân mặt phẳng nghiêng: \(W_2=\dfrac{1}{2}mv^2\)

Công của ma sát là: \(A_{ms}=F_{ms}L=5\sqrt 3 m\)

Độ giảm cơ năng bằng công của lực ma sát

\(\Rightarrow W_1-W_2=A_{ms}\)

\(\Rightarrow 50m-\dfrac{1}{2}mv^2=5\sqrt 3m\)

\(\Rightarrow 50-\dfrac{1}{2}v^2=5\sqrt 3\)

Tìm tiếp để ra v nhé 

anh tìm v luôn đi 

\(\int_{\Delta'=\left(m+1\right)^2-3\left(m-1\right)\left(m-2\right)<0}^{m-1>0}\)\(\int\limits^{m>1}_{-2m^2-7m+-5<0}\)=>\(\int_{m<-1;m>\frac{5}{2}}^{m>1}\)=> m > 5/2

sao mik chon được m>5/2 vậy

vi M thuoc d nen M(a;a+2).ME=MF tuong duong ;(0-a)²+(4-a-2)²=(4-a)²+(-9-a-2)²

tham số hóa tọa độ M rồi cho ME=MF là ok