bn tự kẻ hình nha!

a) xét tg ABC

có: AD = BD, AE = EC

----> DE// BC // BF ( đường trung bình)

----> DE = 1/2.BC = BF

----> BDEF là h.b.h

b) xét tứ giác AHCK

có: HE = EK ; AE = EC
----> AHCK là h.b.h

mà ^AHC = 90^o

---> AHCK là h.c.n

----> \(AK\perp AH⋮A\)(1)

cmtt; ta có: AIBH là h.c.n

----> \(AI\perp AH⋮A\)(2)

từ (1);(2) -----> I,A,K thẳng hàng

c) ta có: PQ là đường trung bình của hình thang HFED ( cm HFED là hình thang thì bn tự cm nha)

-----> \(PQ=\frac{DE+HF}{2}\Rightarrow4PQ=2DE+2HF\)(1)

lại có: DE là đường trung bình của tg HKI ( tự cm nha bn)

----> DE = 1/2. IK -----> 2.DE = IK (2)

từ (1),(2) ----> 4PQ = IK + 2HF

α π √ Ω ∽ ∞ Δ μ ∈ ∉ ∋ ⊂ ∩ ∪ ∀ ∃ ≤ ≥ ∝ ≈ ⊥ ± ∓ ° ωt + φ λ
Hình tự vẽ.

1) BDEF là hình bình hành.

Xét ΔABC có AD = DB (D là trung điểm), AE = EC (C là trung điểm)

=> DE là đường trung bình của ΔABC.

=> DE//BC, DE = 1/2 BC 

Mặt khác, ta có: BF = 1/2BC (F là trung điểm của BC)

=> DE = BF mà DE//BC (cmt) 

=> BDEF là hình bình hành (đpcm)

2) AHCK là hình chữ nhật. I, A, K thẳng hàng.

Xét tứ giác AHCK có:

AE = EC (E là trung điểm), EH = HK (K đối xứng với H qua E)

=> AHCK là hình bình hành.

Mà ^(AHC) = 90° (GT) 

=> AHCK là hình chữ nhật (đpcm)

=> ^(HAK) = 90° 

Mặt khác, ta xét tương tự tứ giác BHAI có:

AD = BD (D là trung điểm), DI = DH (I đối xứng với H qua D)

=>BHAI là hình bình hành, mà ^(AHB) = 90° 

=> AHBI là hình chữ nhật,

=> ^(IAH) = 90° 

=> ^(IAK) = ^(AIH) + ^(HAK)  = 90° + 90° = 180°

=> I, A, K cùng nằm trên một đường thẳng

Hay I, A, K thẳng hàng.

3) 
Xét ΔIKH có: HD = DI (I đối xứng H qua D), HE = EK (K đối xứng H qua E)
=> DE là đường trung bình của ΔIHK.
=> DE = 1/2IK hay IK = 2DE
Ta có: DE//BC (cmt) => DEFH là hình thang.
Xét hình thang DEFH có: DP = PH (P là trung điểm), QE = QF (Q là trung điểm)
=> PQ là đường trung bình của hình thang DEFH.
=> PQ = (DE + FH)/2 
Quy đồng vế phải, ta được:  PQ = 2DE + 2FH / 4 (IK = 2DE)
=> 4PQ = IK + 2HF (đpcm)

( x + 3 )( x² - 3x + 9 ) + ( 7 - x )( 7 + x ) + x( x - x² )

= x³ + 27 + 49 - x² + x² - x³

= 76

xét tam giác EDA và tam giác CBA có

DA=AB(gt)

EA=AC(gt)

góc DAE=góc BAC( đđ)

=> tam giác EDA= tam giác CBA(cgc)

=> ABC=ADE( hai góc t/ứ) mà ABC so le trong với ADE=> ED//BC=> ID//BK mà ID=BK

=> IDKB là hbh=> DB giao IK tại trung điểm mỗi cạnh mà A là trung điểm BD=> A là trung điểm IK=> I đối xứng K qua A

Bài 1. Dùng định lí Bézoute

1) Đặt f(x) = x³ + x² + x + a 

f(x) chia hết cho x + 1 <=> f(-1) = 0

=> -1 + 1 - 1 + a = 0

=> a - 1 = 0

=> a = 1

2) Đặt f(x) = 2x³ - 3x² + x + a

f(x) chia hết cho x + 2 <=> f(-2) = 0

=> a - 30 = 0 

=> a = 30

3) Đặt f(x) = x³ - 2x² + 5x + a

f(x) chia hết cho x - 3 <=> f(3) = 0

=> a + 24 = 0

=> a = -24

4) Đặt f(x) = x⁴ - 5x² + a

Ta có x² - 3x + 2 = x² - x - 2x + 2 = x( x - 1 ) - 2( x - 1 ) = ( x - 1 )( x - 2 )

f(x) chia hết cho x² - 3x + 2 <=> \(\hept{\begin{cases}x^4-5x^2+a⋮x-1\left(1\right)\\x^4-5x^2+a⋮x-2\left(2\right)\end{cases}}\)

(1) : f(x) chia hết cho x - 1 <=> f(1) = 0 => a = 0

(2) : f(x) chia hết cho x - 2 <=> f(2) = 0 => a - 4 = 0 => a = 4

Vậy a = 0 hoặc a = 4

Bài 2.

1) x² - 8x + 20 = ( x² - 8x + 16 ) + 4 = ( x - 4 )² + 4 ≥ 4 > 0 ∀ x ( đpcm )

2) 4x² - 12x + 11 = ( 4x² - 12x + 9 ) + 2 = ( 2x - 3 )² + 2 ≥ 2 > 0 ∀ x ( đpcm )

3) x² - 2x + y² + 4y + 6 = ( x² - 2x + 1 ) + ( y² + 4y + 4 ) + 1 = ( x - 1 )² + ( y + 2 )² + 1 ≥ 1 > 0 ∀ x, y

Bài 3.

A = x² - 20x + 101 = ( x² - 20x + 100 ) + 1 = ( x - 10 )² + 1 ≥ 1 ∀ x

Dấu "=" xảy ra khi x = 10

=> MinA = 1 <=> x = 10

B = 2x² + 40x - 1 = 2( x² + 20x + 100 ) - 201 = 2( x + 10 )² - 201 ≥ -51 ∀ x

Dấu "=" xảy ra khi x = -10

=> MinB = -201 <=> x = -10

Bài 4.

C = 4x - x² + 3 = -( x² - 4x + 4 ) + 7 = -( x - 2 )² + 7 ≤ 7 ∀ x

Dấu "=" xảy ra khi x = 2

=> MaxC = 7 <=> x = 2 

D = 11 - 10x - x² = -( x² + 10x + 25 ) + 36 = -( x + 5 )² + 36 ≤ 36 ∀ x

Dấu "=" xảy ra khi x = -5

=> MaxD = 36 <=> x = -5

Bài kia tí làm nốt ;-;

a. Ta có   D đối xứng với M qua N (gt)

           => MN = ND 

           => N là trung điểm của MD

Xét tứ giác ADCM , ta có:

           N là trung điểm của AC (gt)

           N là trung điểm của MD (cmt)

 => ADCM là hình bình hành (dhnb)

Mà AM là đường cao của tam giác ABC

 => AM vuông góc với BC => Góc M = 90^o 

Xét hình bình hành ADCM , ta có: Góc M = 90⁰

 => ADCM là hình chữ nhật (dhnb)

a/

Vì ABCD là hcn => BC//AD mà \(CI\in BC\) => CI//AD => AICD là hình thang

Ta có ^ADC=90

=> AIDC là hình thang vuông

b/

\(AK=\frac{AD}{2};CI=\frac{BC}{2};AD=BC\Rightarrow AK=CI\)

\(AK\in AD;CI\in BC\) mà AD//BC => AK//CI

=> AICK là hình bình hành (Tứ giác có cặp cạnh đối // và = nhau thì tứ giác đó là hình bình hành)

c/

Gọi O là giao của AC và BD => O là trung điểm của AC và BD (AC và BD là hai đường chéo HCN)

Nối KI ta có 

AK=DK; BI=CI => KI là đường trung bình của HCN ABCD => KI//CD

Xét tg ACD có

AK=DK

KI//DC

=> KI đi qua trung điểm O của AC (trong 1 tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh // với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

=> AC, BD, KI cùng đi qua O

\(\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)+\left(x+1\right)\left(x-1\right)\)

\(=x^3+1+x^2-1=x^3+x^2=x^2.\left(x+1\right)\)

\(\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)+\left(x+1\right)\left(x-1\right)\)

\(=x^3+1+x^2-1\)

\(=x^3+x^2\)

\(=x^2.\left(x+1\right)\)