Tính chất cơ bản của phân thức đại số SVIP

1. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

+ Tính chất 1. Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\dfrac AB = \dfrac{A \, . \, M}{B \, . \, M}$ (trong đó $M$ là một đa thức khác đa thức $0$)

+ Tính chất 2. Nếu tử và mẫu của một phân thức có nhân tử chung thì khi chia tử và mẫu cho nhân tử chung đó ta được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\dfrac AB = \dfrac{A \, : \, N}{B  \, : \, N}$ (trong đó $N$ là một nhân tử chung)

+ Ví dụ 1. Giải thích vì sao $\dfrac{2x+2}{x^2 - 1} = \dfrac2{x-1}$?

Lời giải

Áp dụng tính chất cơ bản của phân thức (tính chất 2) ta có:

$\dfrac{2x+2}{x^2 - 1} = \dfrac{2(x+1)}{(x+1)(x - 1)} = \dfrac2{x-1}$.

+ Quy tắc đổi dấu: Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\dfrac AB = \dfrac{-A}{-B}$

+ Ví dụ 2. Giải thích vì sao $\dfrac{-x}{1-x} = \dfrac x{x-1}$?

Lời giải

Đổi dấu cả tử và mẫu của $\dfrac{-x}{1-x}$ ta được $\dfrac x{x-1}$ nên $\dfrac{-x}{1-x} = \dfrac x{x-1}$.

2. RÚT GỌN PHÂN THỨC

Rút gọn một phân thức là biến đổi phân thức đó thành một phân thức mới bằng nó nhưng đơn giản hơn.

Muốn rút gọn một phân thức đại số, ta thực hiện như sau:

• Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;
• Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

+ Ví dụ 3. Rút gọn phân thức $\dfrac{2x^2 + 2x}{x^2 - 1}$.

Lời giải

Phân tích tử và mẫu của phân thức trên thành nhân tử: $2x^2 + 2x = 2x(x + 1)$;  $x^2-1 = (x-1)(x + 1)$.

Tử và mẫu trên có nhân tử chung là NTC = $x + 1$.

Chia cả tử và mẫu của phân thức  cho các nhân tử chung.

$\dfrac{2x^2 + 2x}{x^2 - 1} = \dfrac{2x(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{2x}{x - 1}$

phân thức mới bằng phân thức đã cho nhưng đơn giản hơn.

3. QUY ĐỒNG MẪU THỨC

Khi biến đổi các phân thức đã cho thành các phân thức mới bằng nó và các phân thức mới này có cùng mẫu thức thì cách biến đổi đó gọi là quy đồng mẫu thức nhiều phân thức.

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta thực hiện 3 bước:

• Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm MTC (mẫu thức chung);

• Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách chia MTC cho các mẫu thức đó;

• Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

+ Ví dụ 4. Quy đồng mẫu thức hai phân thức $\dfrac1{x^2 + x}$ và $\dfrac1{x^2 - x}$.

Lời giải

Bước 1. Tìm mẫu thức chung

$\dfrac1{x^2 + x} = \dfrac1{x(x + 1)}$;   $\dfrac1{x^2 - x} = \dfrac1{x(x - 1)}$.

Chọn MTC là $x(x - 1)(x + 1)$.

Bước 2. Tìm nhân tử phụ

$[x(x - 1)(x + 1)] \, : \, [x(x + 1)] = x - 1$;

$[x(x - 1)(x + 1)] \, : \, [x(x - 1)] = x + 1$;

Bước 3. Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

$\dfrac1{x^2 + x} = \dfrac1{x(x + 1)} = \dfrac{x - 1}{x(x - 1)(x + 1)}$;   

$\dfrac1{x^2 - x} = \dfrac1{x(x - 1)}= \dfrac{x + 1}{x(x - 1)(x + 1)}$.