Hoán vị. Chỉnh hợp SVIP

I. HOÁN VỊ

1. Định nghĩa

Cho tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử (\(n\inℕ^∗\)). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) được gọi là một hoán vị của \(n\) phần tử đó.

2. Số các hoán vị

Kí hiệu \(P_n\) là số các hoán vị của \(n\) phần tử. Ta có \(P_n=n\left(n-1\right)...2.1.\) 

Quy ước: Tích \(1.2...n\) được viết là \(n!\) (đọc là \(n\) giai thừa, tức \(n!=1.2...n.\) Vậy \(P_n=n!\).

Ví dụ. Từ các chữ số \(1,2,3,4,5,6\) có thể lập được bao nhiêu số có \(6\) chữ số khác nhau.

Giải

Mỗi cách sắp xếp sáu chữ số đã cho để lập thành một số có sáu chữ số khác nhau là một hoán vị của sáu chữ số đó.

Vậy số các số có bốn chữ số khác nhau có thể lập được là \(P_6=6!=720.\)

II. CHỈNH HỢP

1. Định nghĩa

Cho tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử và một số nguyên \(k\) với \(1\le k\le n\) .

Kết quả của việc lấy \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử đã cho.

2. Số các chỉnh hợp

 Kí hiệu \(A_n^k\) là số các chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử (\(1\le k\le n\)). Ta có: \(A_n^k=n\left(n-1\right)...\left(n-k+1\right).\)

Ví dụ. Từ các chữ số \(1,2,3,4,5,6\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau?

Giải

Mỗi cách chọn \(3\) chữ số trong \(6\) chữ số đã cho để lập thành một số tự nhiên có \(3\) chữ số khác nhau là một chỉnh hợp chập \(3\) của \(6\), vậy số các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau có thể lập được là \(A^3_6=120.\)