Đề tự luận SVIP

Hướng dẫn giải:

Cho $\cos x=-\dfrac{1}{3}$ và $\dfrac{\pi }{2}<x<\pi $ .

${{\sin }^{2}}x=1-{{\cos }^{2}}x=\dfrac{8}{9}$ $\Leftrightarrow$ $\sin x=\pm \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ .

Vì $\dfrac{\pi }{2}<x<\pi $ nên $\sin x=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

+ $\sin 2x=2\sin x.\cos x=-\dfrac{4\sqrt{2}}{9}$;

+ $\cos 2x=2{{\cos }^{2}}x-1=-\dfrac{7}{9}$;

+ $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=-2\sqrt{2}$;

+ $\tan \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\dfrac{\tan x-\tan \dfrac{\pi }{4}}{1+\tan x.\tan \dfrac{\pi }{4}}=\dfrac{-2\sqrt{2}-1}{1-2\sqrt{2}}$.

Hướng dẫn giải:

Chứng minh rằng : ${{\sin }^{2}}x+\cos \left( \dfrac{\pi }{3}-x \right).\cos \left( \dfrac{\pi }{3}+x \right)=\dfrac{1}{4}$

Cách 1:

$VT={{\sin }^{2}}x+\left( \cos \dfrac{\pi }{3}.\cos x+\sin \dfrac{\pi }{3}.\sin x \right)\left( \cos \dfrac{\pi }{3}.\cos x-\sin \dfrac{\pi }{3}.\sin x \right)$

$={{\sin }^{2}}x+\left( \dfrac{1}{2}.\cos x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\sin x \right)\left( \dfrac{1}{2}.\cos x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\sin x \right)$

$={{\sin }^{2}}x+\dfrac{1}{4}\left( {{\cos }^{2}}x-3{{\sin }^{2}}x \right)$

$=\dfrac{1}{4}=VP$ (đpcm).

Cách 2:

$VT=\dfrac{1}{2}\left[ 1-\cos 2x \right]+\dfrac{1}{2}\left[ \cos \dfrac{2\pi }{3}+\cos (-2x) \right]$

$=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos 2x-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\cos 2x=\dfrac{1}{4}\,=VP$ (đpcm).

Hướng dẫn giải:

Bất phương trình : $\dfrac{\left( 3x-2 \right)\left( 5-x \right)}{2-7x}\ge 0$

Ta tìm được $x=\dfrac{2}{3}; \, x=5; \, x=\dfrac{2}{7}$

Lập bảng xét dấu:

Kết luận nghiệm : $\left[ \begin{aligned} & \dfrac{2}{7}<x\le \dfrac{2}{3} \\ & x\ge 5 \\ \end{aligned} \right.$.

Hướng dẫn giải:

$\left| \dfrac{{{x}^{2}}-5x+4}{{{x}^{2}}-4} \right|<1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \dfrac{{{x}^{2}}-5x+4}{{{x}^{2}}-4}<1\left( 1 \right) \\ & \dfrac{{{x}^{2}}-5x+4}{{{x}^{2}}-4}>-1\left( 2 \right) \\ \end{aligned} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \dfrac{-5x+8}{{{x}^{2}}-4}<0 \\ & \dfrac{2{{x}^{2}}-5x}{{{x}^{2}}-4}>0 \\ \end{aligned} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \left[ \begin{aligned} & -2<x<\dfrac{8}{5} \\ & x>2 \\ \end{aligned} \right. \\ & \left[ \begin{aligned} & x<-2 \\ & 0<x<2 \\ & x>\dfrac{5}{2} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 0<x<\dfrac{8}{5} \\ & x>\dfrac{5}{2} \\ \end{aligned} \right.$   

Mở rộng: giải từng phần

+ Giải $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \dfrac{-5x+8}{{{x}^{2}}-4}<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & -2<x<\dfrac{8}{5} \\ & x>2 \\ \end{aligned} \right.$

+ Giải $\left( 2 \right)\Leftrightarrow \dfrac{2{{x}^{2}}-5x}{{{x}^{2}}-4}>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x<-2 \\ & 0<x<2 \\ & x>\dfrac{5}{2} \\ \end{aligned} \right.$

Lấy giao $\left[ \begin{aligned} & 0<x<\dfrac{8}{5} \\ & x>\dfrac{5}{2} \\ \end{aligned} \right.$

Hướng dẫn giải:

a) Viết phương trình tổng quát cạnh $BC$.

$BC$ có vtcp $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{BC}=\left( -5;-15 \right)$.

$BC$ có vtpt $\overrightarrow{n}=\left( 15;-5 \right)$.

Phương trình tổng quát của $BC$ có dạng : $15x-5y+c=0$

$B\in BC\Leftrightarrow c=5$.

Vậy phương trình tổng quát của $BC$: $15x-5y+5=0\Leftrightarrow 3x-y+1=0$

b) Viết phương trình đường tròn $\left( C \right)$ ngoại tiếp $\Delta ABC$.

Giả sử phương trình $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0$ thỏa mãn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c>0$

+ $A\in \left( C \right)\Leftrightarrow -8a-6b+c=-25$

+ $B\in \left( C \right)\Leftrightarrow -4a-14b+c=-53$

+ $C\in \left( C \right)\Leftrightarrow 6a+16b+c=-73$

Suy ra $\left\{ \begin{aligned} & a=-5 \\ & b=1 \\ & c=-59 \\ \end{aligned} \right.$.

Vậy phương trình $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+10x-2y-59=0$.

Hướng dẫn giải:

a) Viết phương trình tiếp tuyến với $\left( {{C}_{1}} \right)$ tại điểm $M\left( 3;5 \right)$

+ $\left( {{C}_{1}} \right)$ có tâm $I\left( 4;3 \right)$.

+ Tiếp tuyến $\Delta$ đi qua $M$ và có vtpt $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{IM}=\left( -1;2 \right)$

+ Phương trình tổng quát của $\Delta $ có dạng : $-x+2y+c=0$

$M\in \Delta \Leftrightarrow c=-7$.

Vậy phương trình tổng quát của $\Delta$ : $-x+2y-7=0\Leftrightarrow x-2y+7=0$

b) Tìm tọa độ điểm N trên $\left( {{C}_{1}} \right)$ sao cho $EN+FN$ đạt giá trị lớn nhất, với $E\left( -1;3 \right),\,F\left( 1;-1 \right)$.

$EN+FN\le \sqrt{2\left( E{{N}^{2}}+F{{N}^{2}} \right)}=\sqrt{4K{{N}^{2}}+E{{F}^{2}}}$ ($K$ là trung điểm của $EF$)

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow EN=FN$.

Suy ra $EN+FN$ lớn nhất $\Leftrightarrow KN$ lớn nhất và $N$ thuộc đường trung trực của $EF$. 

$K\left( 0;1 \right),\,\overrightarrow{KI}=\left( 4;2 \right),\,\overrightarrow{EF}=\left( 2;-4 \right)\Rightarrow {KI}\bot {EF}\Rightarrow KN$ qua $I \Rightarrow N=KI\cap ({{C}_{1}})$    

Đường thẳng $KI$ có phương trình: $x-2y+2=0\Leftrightarrow x=2y-2$.

Tọa độ giao điểm $N$ thỏa mãn: $\left\{ \begin{aligned} &x=2y-2  \\ &{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=5  \\ \end{aligned}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x=2,y=2 \, \text{(l)} \\ &x=6,y=4 \, \text{(tm)}  \\ \end{aligned} \right. \right.\Rightarrow N(6;4)$ .