Đạo hàm cấp hai SVIP

1. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM CẤP HAI

Giả sử hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại mỗi điểm $x \in(a ; b)$. Nếu hàm số $y'=f'(x)$ lại có đạo hàm tại $x$ thì ta gọi đạo hàm của $y'$ là đạo hàm cấp hai của hàm số $y=f(x)$ tại $x$, kí hiệu là $y''$ hoặc $f''(x)$.

Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y=x^2+\mathrm{e}^{2 x-1}$. Từ đó tính $y''(0)$.

Lời giải

Ta có: $y'=2 x+(2 x-1)' . \mathrm{e}^{2 x-1}=2 x+2\mathrm{e}^{2 x-1}$

$y''2(2 x-1)' . \mathrm{e}^{2 x-1}=2+4 \mathrm{e}^{2 x-1}$.

Vậy đạo hàm cấp hai của hàm số đã cho là $y''=2+4 \mathrm{e}^{2 x-1}$.

Khi đó ta có: $y''(0)=2+4 \mathrm{e}^{-1}$.

2. Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI

Xét một chuyển động có vận tốc tức thời $v(t)$. Cho số gia $\Delta t$ tại $t$ và $\Delta v=v(t+\Delta t)-v(t)$. Tỉ số $\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ gọi là gia tốc trung bình trong khoảng thời gian $\Delta t$. Giới hạn của gia tốc trung bình (nếu có) khi $\Delta t$ dần tới $0$ được gọi là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điềm $t$, kí hiệu là $a(t)$. Như vậy $a(t)=\underset{ \Delta t \to 0}{\mathop{\lim}}  \dfrac{\Delta v}{\Delta t}=v'(t)$.

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Một chuyển động có phương trình $s=f(t)$ thì đạo hàm cấp hai (nếu có) của hàm số $f(t)$ là gia tốc tức thời của chuyển động. Ta có: $a(t)=f''(t)$.

Ví dụ 2. Chuyển động của một vật gắn trên con lắc lò xo (khi bỏ qua ma sát và sức cản không khí) được cho bởi phương trình sau:

$ x(t)=4 \cos \left(2 \pi t+\dfrac{\pi}{3}\right)$ ở đó $x$ tính bằng xen-ti-mét và thời gian $t$ tính bằng giây.

Tìm gia tốc tức thời của vật tại thời điểm $t=5$ giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải

Vận tốc của vật tại thời điểm $t$ là $v(t)=x'(t)=-\left(2 \pi t+\dfrac{\pi}{3}\right)' . 4 \sin \left(2 \pi t+\dfrac{\pi}{3}\right)=-8 \pi \sin \left(2 \pi t+\dfrac{\pi}{3}\right)$.

Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm $t$ là $a(t)=v'(t)=-8 \pi\left(2 \pi t+\dfrac{\pi}{3}\right)' . \cos \left(2 \pi t+\dfrac{\pi}{3}\right)=-16 \pi^2 \cos \left(2 \pi t+\dfrac{\pi}{3}\right)$.

Tại thời điểm $t=5$, gia tốc của vật là $a(5)=-16 \pi^2 \cos \left(10 \pi+\dfrac{\pi}{3}\right)=-16 \pi^2 \cos \dfrac{\pi}{3} \approx-79$ (cm/s$^2$).