Công thức cộng xác suất SVIP

1. CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT CHO HAI BIẾN CỐ XUNG KHẮC

a) Biến cố xung khắc

Biến cố $A$ và biến cố $B$ được gọi là xung khắc nếu $A$ và $B$ không đồng thời xảy ra. Hai biến cố $A$ và $B$ xung khắc khi và chỉ khi $A \cap B=\varnothing$.

Ví dụ 1. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét các biến cố sau:

$A$: "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng $7$";

$B$: "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng $4$";

$C$: "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số nguyên tố".

Trong các cặp biến cố $A$ và $B ; A$ và $C ; B$ và $C$, cặp biến cố nào xung khắc? Tại sao?

Lời giải

Cặp biến cố $A$ và $B$ là xung khắc vì $A$ và $B$ không đồng thời xảy ra.

Cặp biến cố $A$ và $C$ không xung khắc vì nếu tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng $7$ thì cả $A$ và $C$ xảy ra.

Cặp biến cố $B$ và $C$ không xung khắc vì nếu tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng $3$ thì cả $B$ và $C$ xảy ra.

b) Công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc

Với hai biến cố xung khắc, ta có công thức tính xác suất của biến cố hợp như sau:

Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc thì $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$.

Ví dụ 2. Một hộp đựng $9$ tấm thẻ cùng loại được ghi số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên đồng thời hai tấm thẻ từ trong hộp. Xét các biến cố sau:

$A$ : "Cả hai tấm thẻ đều ghi số chẵn";

$B$ : "Chỉ có một tấm thẻ ghi số chẵn";

$C$ : "Tích hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn".

a) Chứng minh rằng $C=A \cup B$.

b) Tính $P(C)$.

Lời giải

a) Biến cố $C$ xảy ra khi và chỉ khi trong hai tấm thẻ có ít nhất một tấm thẻ ghi số chẵn.

Nếu cả hai tấm thẻ ghi số chẵn thì biến cố $A$ xảy ra.

Nếu chỉ có một tấm thẻ ghi số chẵn thì biến cố $B$ xảy ra.

Vậy $C$ là biến cố hợp của $A$ và $B$.

b) Hai biến cố $A$ và $B$ là xung khắc.

Do đó $P(C)=P(A \cup B)=P(A)+P(B)$.

Ta cần tính $P(A)$ và $P(B)$.

Không gian mẫu $\Omega$ là tập hợp tất cả các tập con có hai phần tử của tập $\{1 ; 2 ; ... ; 9\}$.

Do đó $n(\Omega)=C_9^2=36$.

+ Tính $P(A)$:

Biến cố $A$ là tập hợp tất cả các tập con có hai phần tử của tập $\{2 ; 4 ; 6 ; 8\}$.

Do đó $n(A)=C_4^2=6$.

Suy ra $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{6}{36}$.

+ Tính $P(B)$ : Mỗi phần tử của $B$ được hình thành từ hai công đoạn:

- Công đoạn 1: Chọn một số chẵn từ tập $\{2 ; 4 ; 6 ; 8\}$. Có $4$ cách chọn.

- Công đoạn 2: Chọn một số lẻ từ tập $\{1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9\}$. Có $5$ cách chọn.

Theo quy tắc nhân, tập $B$ có $4 . 5=20$ (phần tử).

Do đó $n(B)=20$.

Suy ra $P(B)=\dfrac{n(B)}{n(\Omega)}=\dfrac{20}{36}$.

Vậy $P(C)=P(A)+P(B)=\dfrac{6}{36}+\dfrac{20}{36}=\dfrac{26}{36}=\dfrac{13}{18}$.

2. CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT

Cho hai biến cố $A$ và $B$. Khi đó, ta có: $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A B)$. Công thức này được gọi là công thức cộng xác suất.

Ví dụ 3. Ở một trường trung học phổ thông X, có $19 \%$ học sinh học khá môn Ngữ văn, $32 \%$ học sinh học khá môn Toán, $7 \%$ học sinh học khá cả hai môn Ngữ văn và Toán. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường $X$. Xét hai biến cố sau:

A: "Học sinh đó học khá môn Ngữ văn";

B: "Học sinh đó học khá môn Toán".

Hãy tính tỉ lệ học sinh học khá môn Ngữ văn hoặc học khá môn Toán của trường X.

Lời giải

Theo đề bài, ta có: $P(A)=19 \%=0,19$; $P(B)=32 \%=0,32$ và $P(A B)=7 \%=0,07$.

Theo công thức cộng xác suất, ta có: $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A B)=0,19+0,32-0,07=0,44$. 

Do đó, xác suất để chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường X học khá môn Ngữ văn hoặc học khá môn Toán là $0,44$.

Vậy tỉ lệ học sinh học khá môn Ngữ văn hoặc học khá môn Toán của trường X là $44 \%$.