Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn SVIP

Một nhà xuất bản nhận in $4$ $000$ ấn phẩm. Nhà xuất bản có tất cả $14$ máy in được cài đặt, hoạt động tự động và giám sát bởi $1$ kĩ sư. Mỗi máy in có thể in được $30$ ấn phẩm trong một giờ. Chi phí cài đặt máy in là $120$ nghìn đồng/máy, chi phí giám sát là $90$ nghìn đồng/giờ. Số máy in nhà xuất bản nên sử dụng để chi phí in là nhỏ nhất là bao nhiêu máy?

Trả lời:

Một cửa hàng bán vải thiều của Bắc Giang với giá bán mỗi kg là $40$ nghìn đồng. Với giá bán này thì cửa hàng chỉ bán được khoảng $30$ kg, do đó cửa hàng này dự định giảm giá bán. Ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi ki-lô-gam $4$ $000$ đồng thì tổng khối lượng vải thiều bán được tăng thêm $40$ kg. Xác định giá bán (đơn vị nghìn đồng) của mỗi ki-lô-gam vải thiều để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi ki-lô-gam là $25$ $000$ đồng.

Trả lời:  

Một cửa hàng kinh doanh rau tươi ước tính doanh thu bởi hàm số $f(x)=x^2-29 \, 000x+1\,000\,100 \, 000$ (đồng) và tiền lãi thu được là $g(x)=1\,000x+100\,000$ (đồng) với $x$ (đồng) là giá bán cho mỗi kg rau tươi. Biết doanh thu bằng tổng tiền lãi và tiền vốn. Tìm giá bán mỗi kg rau tươi (đơn vị nghìn đồng) sao cho cửa hàng phải bỏ vốn ra ít nhất.

Trả lời:

Một chất điểm chuyển động theo quy luật và quãng đường di chuyển được sau $t$ giây được tính theo công thức $S\left(t \right)=-3t^3+243t^2$ (m). Vận tốc $v$ (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất khi $t$ bằng bao nhiêu giây?

Trả lời:

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác định bởi công thức $G(x)=0,024x^2(30-x)$, trong đó $x$ là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp ($x$ được tính bằng mg). Tìm lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều nhất.

Trả lời:  mg

Cho một tấm nhôm hình vuông có cạnh $24$ cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng $x$ (cm), rồi gấp tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một khối hộp chữ nhật không nắp.

Tìm $x$ sao cho thể tích khối hộp lớn nhất.

Trả lời:

Một công ty bất động sản có $150$ căn hộ cho thuê, biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá $2$ triệu đồng mỗi tháng thì tất cả căn hộ đều có người thuê. Cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm $100 \, 000$ đồng mỗi tháng thì có thêm $5$ căn hộ bị bỏ trống. Muốn có thu nhập cao nhất thì công ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu triệu đồng/tháng? (ghi kết quả dưới dạng số thập phân làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Trả lời:  

Một hãng dược phẩm dùng những chiếc lọ bằng nhựa có dạng hình trụ để đựng thuốc. Biết rằng mỗi lọ có thể tích là $16\pi$ cm$^{3}$ và bề dày không đáng kể. Tính bán kính đáy $R$, đơn vị cm của lọ để tốn ít nguyên liệu sản xuất lọ nhất (kể cả nắp lọ).

Trả lời:  

Từ một miếng tôn có hình dạng là một nửa hình tròn bán kính $R=3$, người ta cắt ra một miếng hình chữ nhật như mô tả trong hình vẽ. 

Diện tích lớn nhất có thể có của hình chữ nhật nêu trên là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị)

Trả lời: 

Nhà của ba bạn $A, \, B, \, C$ nằm ở ba vị trí tạo thành một tam giác vuông tại $B$ như hình vẽ, biết $AB=10$ km, $BC=25$ km và ba bạn tổ chức họp mặt tại nhà bạn $C$. Bạn $B$ hẹn chở bạn $A$ tại vị trí $M$ trên đoạn đường $BC$. Giả sử luôn có xe buýt đi thẳng từ $A$ đến $M$. Từ nhà bạn $A$ đi xe buýt thẳng đến điểm hẹn $M$ với tốc độ $30$ km/h và từ $M$ hai bạn $A, B$ di chuyển đến nhà bạn $C$ theo đoạn đường $MC$ bằng xe máy với vận tốc $50$ km/h. Hỏi $5MB+3MC$ bằng bao nhiêu km để bạn $A$ đến nhà bạn $C$ nhanh nhất?

Trả lời: km.

Theo thống kê tại một nhà máy $Z$, nếu áp dụng tuần làm việc $40$ giờ thì mỗi tuần có $100$ công nhân đi làm và mỗi công nhân làm được $120$ sản phẩm trong một giờ. Nếu tăng thời gian làm việc thêm $2$ giờ mỗi tuần thì sẽ có $1$ công nhân nghỉ việc và năng suất lao động giảm $5$ sản phẩm/$1$ công nhân/$1$ giờ. Ngoài ra, số phế phẩm mỗi tuần ước tính là $P\left( x \right)=\dfrac{95{{x}^{2}}+120x}{4}$, với $x$ là thời gian làm việc trong một tuần (đơn vị: giờ). Nhà máy cần áp dụng thời gian làm việc mỗi tuần mấy giờ để số lượng sản phẩm thu được mỗi tuần là lớn nhất?

Trả lời: giờ.