Ta có :

E=a+a³+a⁵+...+a2ⁿ⁺¹

=> a².E=a³+a⁵+a⁷+...+a²ⁿ⁺³

=> a².E-E=(a³+a⁵+a⁷+...+a²ⁿ⁺³)-(a+a³+a⁵+...+a2ⁿ⁺¹)

=> (a²-1).E=a²ⁿ⁺³-1

=> E=\(\dfrac{a^{2n+3}-1}{a^2-1}\)

a) A = 1+3+3²+3³+...+3⁹⁹+3¹⁰⁰

=> 3A=3+3²+3³+3⁴+...+3¹⁰⁰+3¹⁰¹

=> 3A-A=(3+3²+3³+...+3¹⁰⁰+3¹⁰¹)-(1+3+3²+3³+...+3⁹⁹+3¹⁰⁰)

=> 2A=3¹⁰¹-1

=> A = \(\dfrac{3^{101}}{2}\)

b) B=2¹⁰⁰-2⁹⁹+2⁹⁸-2⁹⁷+...-2³+2²-2+1

=> 2B=2¹⁰¹-2¹⁰⁰+2⁹⁹-2⁹⁸+...-2⁴+2³-2²+2

=>2B+B=(2¹⁰¹-2¹⁰⁰+2⁹⁹-2⁹⁸+...-2⁴+2³-2²+2)+(2¹⁰⁰-2⁹⁹+2⁹⁸-2⁹⁷+...-2³+2²-2+1)

=> 3B = 2¹⁰¹+1

=> B = \(\dfrac{2^{101}+1}{3}\)

Ta có :

D = a²+a⁴+...+a¹⁰⁰

=> a².D=a⁴+a⁶+...+a102

=> a².D-D=(a⁴+a⁶+...+a¹⁰²)-(a²+a⁴+...+a¹⁰⁰)

=> (a²-1).D=a¹⁰¹-a²

=> D= \(\dfrac{a^{101}-a^2}{a^2-1}\)

Vì chu vi hình chữ nhật bằng 2 lần chiều dài cộng 2 lần chiều rộng mà chu vi hình chữ nhật bằng 3 lần chiều dài hình chữ nhật đó nên ta có chiều dài hình chữ nhật đó là :

8 x 2 = 16 ( m )

Diện tích hình chữ nhật đó là :

16 x 8 = 128 ( m² )

(x+1)+(x+3)+...+(x+19)=110

=> 10x+(1+3+...+19)=110

=> 10x+(19+1).10:2=110

=>10x+100=110

=>10x=10

=> x = 1

Đặt A=a²+a³+...+a⁶⁰

=>a.A=a³+a⁴+...+a⁶¹

=>a.A-A=(a³+a⁴+...+a⁶¹)-(a²+a³+...+a⁶⁰)

=>A.(a-1)=a⁶¹-a²

=> A=\(\dfrac{a^{61}-a^2}{a-1}\)

Ta có :

\(\dfrac{56}{9}=6\dfrac{2}{9}\)

\(\dfrac{59}{8}=7\dfrac{3}{8}\)

\(\dfrac{561}{4}=140\dfrac{1}{4}\)

\(\dfrac{456}{7}=22\dfrac{2}{7}\)