I. Phương pháp sử dụng phép chia hết.
VD1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
\(xy+3x+2y=6\)
Hướng dẫn:
Cách 1: Chúng ta có thể nhóm \(xy\) với \(3x\) hoặc \(xy\) với \(2y\)
Thử nhóm \(xy\) với \(3x\)
\(\left(xy+3x\right)+2y=6\)
Đưa thừa số chung ra ngoài:
\(x\left(y+3\right)=6-2y\)
Đưa về dạng tìm y nguyên để x đạt giá trị nguyên: ( Dạng toán quen thuộc tìm P để a đạt giá trị nguyên )
\(x=\dfrac{6-2y}{y+3}\)
Chú ý rằng: Muốn chia cả hai vế cho \(y+3\) thì \(y+3\ne0\)
Vì thế sẽ phải có 2 trường hợp
Bài giải:
\(xy+3x+2y=6\Leftrightarrow\left(xy+3x\right)+2y=6\Leftrightarrow x\left(y+3\right)=6-2y\)
TH1: \(y+3=0\Leftrightarrow y=-3\)
Ta có: \(x.0=12\) (loại)
TH2: \(y+3\neq 0\Leftrightarrow y\neq -3\)
Ta có: \(x=\dfrac{6-2y}{y+3}=-2+\dfrac{12}{y+3}\)
\(x\) đạt giá trị nguyên khi và chỉ khi \(\dfrac{12}{y+3}\) đạt giá trị nguyên
\(\Leftrightarrow12⋮y+3\Leftrightarrow y+3\in U\left(12\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm3;\pm4;\pm6;\pm12\right\}\)
Ta có bảng sau:
| y+3 | -12 | -6 | -4 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 12 |
| y | -15 | -9 | -7 | -6 | -5 | -4 | -2 | -1 | 0 | 1 | 3 | 9 |
| x | -3 | -4 | -5 | -4 | -6 | -14 | 10 | 4 | 2 | 1 | 0 | -1 |
Tham khảo cách 2 của bạn: Phạm Thị Thùy Linh ở link:
Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp - Học toán với OnlineMath
VD2: Tìm nghiệm nguyên dương:
\(x^2-y^2=43\)
Hướng dẫn:
Trước hết đưa phương trình về dạng:
\(\left(x-y\right)\left(x+y\right)=43\) (1)
Tiếp theo chúng ta sẽ đi phân tích 43 thành tích các bội của nó:
Tuy nhiên đối với bài này:
+) x, y nguyên dương => x+y nguyên dương=> x-y nguyên dương => x+y>x-y
+) 43 là số nguyên tố nên chỉ có thể phân tích được thành: 43=43.1
Từ hai điều trên có thể xác định được: \(x+y=43\) và \(x-y=1\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=43\x+y=1\end{matrix}\right.\) gồm hai phương trình tổng hiệu
Có thể dùng phương pháp tổng hiệu ở bậc tiểu học
=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{43+1}{2}=22\y=\dfrac{43-1}{2}=21\end{matrix}\right.\)
Hoặc là nhiều cách khác để tìm \(x,y\)
Bài giải:
Phương trình (1) <=> \(\left(x-y\right)\left(x+y\right)=43=43.1\)
Vì \(x,y\in Z^+\Rightarrow x+y\in Z^+\Rightarrow x-y\in Z^+\Rightarrow x+y>x-y\)
<=> \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=43\x+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=22\y=21\end{matrix}\right.\)
Vậy \(x=22;y=21\)
VD3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
\(4x+5y=2012\)
Hướng dẫn:
Với dạng bài này chúng ta sẽ nhận thấy một điều rằng \(4x,2012\) đều chia hết cho 4
Suy ra \(5y=2012-4x\) chia hết cho 4 mà (5;4)=1 nói cách khác là hai số nguyên tố cùng nhau
=> \(y⋮4\)
Có thể đặt: \(y=4t\left(t\in Z\right)\). Thay vào phương trình:
\(4x+5.4t=2012\)
\(\Leftrightarrow x+5t=503\)
\(\Leftrightarrow x=503-5t\)
Suy ra : \(y=4t,x=503-5t\left(t\in Z\right)\)
Đảo lại, bây giờ chúng ta sẽ thay x, y vừa tìm được vào phương trình ban đầu: \(4\left(503-5t\right)+5.4t=2012\) luôn đúng
Vậy phương trình ban đầu có vô số nghiệm được xác đinh bởi \(y=4t,x=503-5t\left(t\in Z\right)\)
Các bạn có thể tham khảo bài làm hoàn chỉnh của bạn Đào Thu Hoà ở link: Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp - Học toán với OnlineMath
II. Phương pháp xét số dư từng vế
VD1: Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên:
a) \(x^2-y^2=1998\)
b) \(x^2+y^2=1999\)
Hướng dẫn:
Ở dạng bài như này các bạn sẽ số dư mỗi vế, và sẽ thấy được rằng các vế sẽ có số dư khác nhau => phương trình vô nghiệm
Có thể hiểu rằng: Khi xét vế bên phải của phương trình chia cho số \(a\) dư \(b\), xét vế bên trái phương trình chia số \(a\) dư \(c\) mà \(b\ne c\) thì khi đó phương trình ban đầu vô nghiệm.
Nhắc lại một chút kiến thức nâng cao lớp 6;
Ở lớp 6 các bạn đã được học kiến thức về số chính phương và đã biết được rằng số chính phương khi chia cho một vài số sẽ ra số dư không thay đổi
Các số chính phương :
+) chia cho 2 có số dư 0 hoặc 1
+) chia cho 3 có số dư 0 hoặc 1
+) chia cho 4 có số dư 0 hoặc 1
+)...
Quay trở lại bài làm:
a) \(x^2-y^2=1998\)
Hướng dẫn:
Xét số dư mỗi vế :
| \(x^2-y^2\) | 1998 | |
| chia cho 2 | dư 0 hoặc 1 | dư 0 |
| chia cho 3 | dư 0 hoặc 1 hoặc 2 | dư 0 |
| chia cho 4 | dư 0 hoặc 1 hoặc 3 | dư 2 |
| .... | .... | ... |
Nhìn vào bảng chúng ta sẽ định hướng bài làm đấy là xét số dư khi chia cho 4
Bài giải:
Với \(x,y\in Z\) thì \(x^2;y^2\) chia 4 dư 0 hoặc 1
suy ra \(x^2-y^2\) chia 4 dư 0(do 0-0=0 hoặc 1-1=0), dư 1(do 1-0=1), dư 3 ( 0-1=-1 đồng dư với 3 module 4)
Mà 1998 chia 4 dư 2
Nên phương trình trên vô nghiệm
b) Làm tương tự
Các bạn có thể tham khảo bài làm của bạn học sinh zZz Cool Kid zZz trên OLM:
Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
VD2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
\(9x+2=y^2+y\)
Hướng dẫn:
Trước hết chúng ta có nhận xét:
VT chia 3 dư 2
=> VP chia 3 dư 2
như vậy : \(y^2+y=y\left(y+1\right)\) chia 3 dư 2. Mà \(y\) và \(y+1\) là hai số nguyên liên tiếp
nên \(y=3k+1\) và \(y+1=3k+2\) với \(k\in Z\)
Do đó thay vào phương trình ban đầu chúng ta sẽ có:
\(9x+2=\left(3k+1\right)\left(3k+2\right)\)
\(\Leftrightarrow9x+2=9k^2+9k+2\)
\(\Leftrightarrow x=k^2+k=k\left(k+1\right)\)
Sau đó chúng ta thử \(x=k\left(k+1\right)\) và \(y=3k+1\) lại với phương trình ban đầu thấy thỏa mãn
Vậy kết luận \(x=k\left(k+1\right)\); \(y=3k+1\) với \(k\in Z\)
Tham khảo bài làm và cách làm khác của các bạn học sinh trên OLM:
Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
VD3: Chứng minh rằng các phương trình sau không có nghiệm nguyên:
a) \(x^2-y^2=2010\)
b) \(x^4+y^4+z^4=1000\)
Cách làm tương tự như trên. Các bạn tham khảo cách làm của các bạn học sinh trên OLM:
Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
III.Phương pháp khử ẩn để tìm phương trình nghiệm nguyên
VD1: Giải phương trình nghiệm nguyên:
\(1+x+x^2+x^3=y^3\)
Hướng dẫn:
VD2: Giải phương trình nghiệm nguyên:
\(x^4-y^4+z^4+2x^2z^2+3x^2+4z^2+1=0\)
VD3: Giải phương trình nghiệm nguyên.
\(x^4+x^2-y^2+y+10=0\)
VD4: Giải phương trình nghiệm nguyên.
\(1!+2!+3!+...+x!=y^2\)
VD5: Giải phương trình nghiệm nguyên.
\(1!+2!+3!+...+x!=y^3\)
III. Phương pháp đưa về dạng tổng
VD1: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
\(x^2+y^2-x-y=8\)
VI. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức.
VD1: Tìm nghiệm nguyên dương:
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=9\)
VD2: Tìm x, y, z nguyên dương thỏa mãn:
x+y+z=xyz
VD3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=z\)
VD4: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
5(x+y+z+t)+15=2xyzt
IV. Phương pháp lùi vô hạn
VD1: Tìm nghiệm nguyên dương.
\(x^4+4y^4=2z^4\)
VD2: Tìm nghiệm nguyên dương.
\(x^3+5y^3=25z^3\)
VD3: Tìm nghiệm nguyên:
\(x^3+3y^3+9z^3=9xyz\)
V. Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên:
VD1: Tìm nghiệm nguyên không âm:
\(3^x+4^x=5^x\)
VD2: Tìm nghiệm nguyên không âm:
\(2^x+2^y+2^z=512\)
VD3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
\(\sqrt{x+\sqrt{x}}=y\)
