I. Kiến thức cần nhớ:
- Phép chia a cho c (c ≠ 0) được thương là q và số dư là r thì:
a = c . q + r (với 0 ≤ r < c; nếu r = 0 thì a chia hết cho c)
- Nếu a và b đều chia hết cho c thì tổng (a + b) và hiệu (a - b) của chúng cũng chia hết cho c. (Chú ý: nếu cả a và b đều KHÔNG chia hết cho c thì không thể suy ra tổng/hiệu của chúng cũng KHÔNG chia hết cho c, ví dụ 3 và 1 đều không chia hết cho 4 nhưng tổng 3 + 1 lại chia hết cho 4).
- Nếu a = b + d, mà biết b chia hết cho q thì suy ra a chia hết cho q khi và chỉ khi d cũng chia hết cho q.
- Dấu hiệu chia hết 2,5, 10: Dựa trên chữ số cuối cùng, một số có chữ số tận cùng là C thì có thể biểu diễn dạng (xem phần Cấu tạo số):
aC = a0 + C = a.10 + C
Vì a.10 chia hết cho 2, 5, 10 nên một số chia hết cho 2, 5, 10 khi và chỉ khi chữ số tận cùng C chia hết cho 2, 5, 10
- Dấu hiệu chi hết cho 3 và 9: Một số cấu tạo bởi các chữ số A, B, C, D có thể biểu diễn dưới dạng (xem phần Cấu tạo số):
ABCD = 1000.A + 100.B + 10.C + D
= (999.A + A) + (99.B + B) + (9.C + C) + D
= 999.A + 99. B + 9.C + (A + B + C + D)
Mà các số 999.A, 99.B, 9.C đều chia hết cho 3 và 9 nên số ABCD chia hết cho 3 hoặc 9 nếu tổng các chữ số của nó A + B + C + D chia hết cho 3 hoặc 9.
- Số chia hết cho 4 thì chia hết cho 2, số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3 (ngược lại không đúng).
II. Các ví dụ
Ví dụ 1:
Tìm hai số tự nhiên biết số lớn gấp 12 lần số bé và thương của hai số đó gấp 2 lần số bé?
Giải:
Vì Số lớn = 12 x số bé
nên Số lớn : số bé = 12
Vậy thương của 2 số đó bằng 12
Khi đó, số bé bằng: 12 : 2 = 6
Và Số lớn bằng: 12 x 6 = 72
-----------------------
Ví dụ 2:
Tìm hai chữ số a và b để số a78b đồng thời chia hết 2, 3, 5, 9?
Giải
Số vừa chia hết cho 2 thì có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, hoặc 8.
Số chia hết cho 5 thì có tận cùng là 0 hoặc 5.
Vậy số vừa chia hết cho 2 và vừa chia hết cho 5 thì có chữ số tận cùng phải bằng 0. Suy ra b = 0.
Ta được số a780.
Số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3, mà để chia hết cho 9 thì tổng các chữ số chia hết cho 9 hay a + 7 + 8 + 0 = a + 15 chia hết cho 9.
Lần lượt thay a = 0; 1; ..; 9 vào thì thấy chỉ có a = 3 làm cho a + 15 chia hết cho 9.
Đáp số: a = 3, b = 0; Số cần tìm là: 3780
-----------------------
Ví dụ 3:
Tìm số nhỏ nhất khác 0 chia hết cho 2, 3,4, 5, 6, 7?
Giải
Vì một số chia hết cho 4 thì chia hết cho 2 (do 4 chia hết cho 2)
Và số chia hết cho cả 2 và 3 thì chia hết cho 6.
Nên số chia hết cho cả 3 và 4 sẽ chia hết cho cả 2 và 6
Vậy số nhỏ nhất chia hết cho 2,3,4,5,6,7 là: 3 x 4 x 5 x 7 = 420 (ta không nhân với 2 và 6 để được số nhỏ nhất)
Đáp số: 420
-----------------------
Ví dụ 4:
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 1 sao cho khi chia cho 2, 3, 4, 5, 7 đều dư 1.
Giải:
Gọi số cần tìm là a.
a chia 2; 3; 4; 5; 7 dư 1 nên a - 1 chia hết cho 2; 3; 4; 5; 7.
Vì số chia hết cho 4 sẽ chia hết cho 2, Suy ra a -1 = 3 x 4 x 5 x 7 = 420
Vậy a = 420 + 1 = 421.
Đáp số: 421.
-----------------------
Ví dụ 5:
Tìm số tự nhiên bé nhất chia cho 2 dư 1, chia cho 3 dư 2,chia cho 4 dư 3, chia cho 5 dư 4.
Giải:
Gọi số cần tìm là a.
a chia cho 2 dư 1, chia cho 3 dư 2, chia cho 4 dư 3, chia cho 5 dư 4 nên a + 1 chia hết cho 2, 3, 4, 5.
Số chia hết cho 4 sẽ chia hết cho 2 nên số chia hết cho đồng thời 2, 3, 4, 5 là 3 x 4 x 5 = 60.
Vậy a + 1 = 60
Suy ra a = 60 - 1 = 59.
Đáp số: 59.
-----------------------
III. Đọc thêm
[1] Các dạng toán chia hết, dấu hiệu chia hết trên Online Math:
+ Lớp 3:
/hoctoan/476/Phép-chia-hết-và-chia-có-dư
+ Lớp 4, 5:
/hoctoan/605/Dấu-hiệu-chia-hết-cho-2-3-5-9-10
/hoctoan/739/Chia-hết-và-chia-có-dư---chia-cho-2-3-5-9-10
/hoctoan/740/Dấu-hiệu-chia-hết-cho-4-8-11
/hoctoan/829/Chia-hết-và-chia-có-dư---nâng-cao
[2] Các bài toán chia hết và chia có dư do các thành viên đưa lên Online Math:
