I. Phương pháp đưa về dạng tích.
Biến đổi phương trình:
\(F\left(x\right)=0\Leftrightarrow f\left(x\right).g\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(x\right)=0\g\left(x\right)=0\end{matrix}\right.\)
VD1: Giải phương trình:
\(x\left(x+3\right)^2-4x=0\)(1)
Giải:
(1) \(\Leftrightarrow x\left(\left(x+3\right)^2-4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)\left(x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\x+1=0\x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\x=-1\x=-2\end{matrix}\right.\)
Kết luận: Vậy phương trình có 3 ngiệm x=0; x=-1; x=-2
VD2: Giải phương trình:
\(x^3-x^2-21x+45=0\)
Giải:
Nhẩm nghiệm: thấy x = 3 là một nghiệm của phương trình.
Thực hiện phép chia đa thức: \(x^3-x^2-21x+45\) cho đa thức \(x-3\) ta có:
\(x^3-x^2-21x+45=\left(x-3\right)\left(x^2+2x-15\right)=\left(x-3\right)\left(x+5x-3x-15\right)=\left(x-3\right)^2\left(x+5\right)\)
Như vậy:
\(x^3-x^2-21x+45=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2\left(x+5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(x-3\right)^2=0\x+5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\x=-5\end{matrix}\right.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm x=3 và x=-5.
Các bài tập rèn luyện.
Giải các phương trình sau:
a) \(x^3+2x^2+x+2=0\)
b) \(x^3+2x^2-x-2=0\)
c) \(x^3-8=\left(x-2\right)^2\left(2x+1\right)\)
d) \(x^4+3x^3-x-3=0\)
II. Phương pháp đặt ẩn phụ.
1. Phương trình trùng phương: \(ax^4+bx^2+c=0,a\ne0\) (1)
Cách giải:
Đặt: \(t=x^2\left(t\ge0\right)\), Ta đưa về phương trình:
\(at^2+bt+c=0\) (2)
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (1) phụ thuộc vào số nghiệm khồn âm của phương trình (2).
VD1: Giải phương trình:
\(x^4+4x^2-5=0\) (1)
Giải:
Đặt: \(x^2=t\left(t\ge0\right)\); phương trình (1) trở thành:
\(t^2+4t-5=0\)
\(\Leftrightarrow t^2+5t-t-5=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t^2+5t\right)-\left(t+5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow t\left(t+5\right)-\left(t+5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t+5\right)\left(t-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\t=-5\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Với t =1, ta có: \(x^2=1\Leftrightarrow x=\pm1\)
Kết luận: Phương trình có hai nghiệm x=1 và x=-1.
Các bài tập rèn luyện:
Giải các phương trình:
a) \(x^4-10x^2+9=0\)
b) \(9x^4-6x^2+1=0\)
2. Phương trình đối xứng: \(ax^4\pm bx^3+cx^2\pm kbx+k^2a=0\left(k>0\right)\) (1)
Cách giải:
Chia hai vế của phương trình cho \(x^2\left(x\ne0\right)\), ta có phương trình:
\(a\left(x^2+\dfrac{k^2}{x^2}\right)\pm b\left(x+\dfrac{k}{x}\right)+c=0\) (2)
Đặt: \(t=x+\dfrac{k}{x}\) với \(\left|t\right|\ge2\sqrt{k}\)
Ta có: \(x^2+\dfrac{k^2}{x^2}=\left(x+\dfrac{k}{x}\right)^2-2k=t^2-2k\)
Phương trình (2) trở thành:
\(a\left(t^2-2k\right)\pm bt+c=0\)
VD1:Giải phương trình:
\(x^4-3x^3+2x^2-3x+1=0\)(1)
Giải:
Chia cả hai vế của phương trình (1) cho \(x^2\left(x\ne0\right)\)
Ta có phương trình:
\(x^2-3x+2-\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+2=0\) (2)
Đặt: \(x+\dfrac{1}{x}=t\); \(t\ge2\)
khi đó: \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2\Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2=t^2-2\)
Phương trình (2) trở thành:
\(t^2-2-3t+2=0\)
\(\Leftrightarrow t^2-3t=0\)
\(\Leftrightarrow t\left(t-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=0\left(loại\right)\t=3\end{matrix}\right.\)
Với t=3 ta có:
\(x+\dfrac{1}{x}=3\Leftrightarrow x^2-3x+1=0\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{5}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\x-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{5}+3}{2}\x=\dfrac{-\sqrt{5}+3}{2}\end{matrix}\right.\)
Kết luận:...
Bài tập rèn luyện:
Giải các phương trình sau:
a) \(x^4-4x^3-3x^2-4x+1=0\)
b) \(x^4+5x^3-12x^2+5x+1=0\)
c) \(2x^4-21x^3+74x^2-105x+50=0\)
d) \(x^4-3x^3-8x^2-12x+16=0\)
3. Phương trình có dạng: \(\left(x+a\right)\left(x+b\right)\left(x+c\right)\left(x+d\right)=e\) (1), trong đó: a+b = c + d
Phương trình (1) \(\Leftrightarrow\left[x^2+\left(a+b\right)x+ab\right]\left[x^2+\left(c+d\right)x+cd\right]=e\)
Đặt: \(t=x^2+\left(a+b\right)x+ab\)
hoặc \(t=x^2+\left(c+d\right)x+cd\)
hoặc: \(t=x^2+\left(a+b\right)x\)
VD1: Giải phương trình:
\(\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+x+2\right)=12\)(1)
Giải:
Đặt: \(t=x^2+x+1\), ta có: \(x^2+x+2=t+1\)
Phương trình (1) trở thành:
\(t\left(t+1\right)=12\)
\(\Leftrightarrow t^2+t-12=0\)
\(\Leftrightarrow t^2+2.t.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}+12\)
\(\Leftrightarrow\left(t+\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{49}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t+\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}\t+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=3\t=-4\end{matrix}\right.\)
+) Với \(t=3\); ta có:
\(x^2+x+1=3\)\(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\x=1\end{matrix}\right.\)
+) Với \(t=-4\), ta có:
\(x^2+x+1=-4\); phương trình vô nghiệm
Vậy có hai nghiệm là x=-2 và x=1
VD2: Giải phương trình:
\(\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x-5\right)\left(x-6\right)=180\)(1)
Giải:
(1) \(\Leftrightarrow\left[\left(x+2\right)\left(x-5\right)\right]\left[\left(x+3\right)\left(x-6\right)\right]=180\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-3x-10\right)\left(x^2-3x-18\right)=180\)
Đặt: \(x^2-3x-10=t\) , Ta có phương trình:
\(t\left(t-8\right)=180\)
\(\Leftrightarrow t^2-8t=180\)
\(\Leftrightarrow\left(t-4\right)^2=196\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=18\t=-10\end{matrix}\right.\)
+) Với t=18 ta có:
\(x^2-3x-10=18\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=7\x=-4\end{matrix}\right.\)
+) Với t =-10 ta có:
\(x^2-3x-10=-10\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\x=3\end{matrix}\right.\)
Kết luận: Phương trình có 4 nghiệm: x=-4; x=0; x=3; x=7
Bài tập rèn luyện:
Giải các phương trình sau:
a) \(\left(x-4\right)\left(x-5\right)\left(x-6\right)\left(x-7\right)=1680\)
b) \(x\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)=24\)
c) \(x\left(x+1\right)\left(x^2+x+1\right)=42\)
d) \(\left(x^2+x-2\right)\left(x^2+x-3\right)=12\)
4) Phương trình có dạng: \(\left(x+a\right)\left(x+b\right)\left(x+c\right)\left(x+d\right)=ex^2,\)(1) trong đó: ab = cd.
Phương trình (1) \(\Leftrightarrow\left[x^2+\left(a+b\right)x+ab\right]\left[x^2+\left(c+d\right)x+cd\right]=ex^2\)
Chia cả hai vế cho \(x^2\)
Ta có phương trình mới:
\(\left[x+\dfrac{ab}{x}+\left(a+b\right)\right]\left[x+\dfrac{cd}{x}+\left(c+d\right)\right]=e\)
Đặt : \(t=x+\dfrac{ab}{x}\)
hoặc \(t=x+\dfrac{ab}{x}+a+b\)
hoặc: \(t=x+\dfrac{cd}{x}+c+d\)
VD1: \(4\left(x+5\right)\left(x+6\right)\left(x+10\right)\left(x+12\right)=3x^2\)
5. Phương trình có dạng: \(\left(x+a\right)^4+\left(x+b\right)^4=c\) (1)
Đặt: \(x=t-\dfrac{a+b}{2}\) ta đưa về phương trình trùng phương.
VD1: Giải phương trình:
\(\left(x+3\right)^4+\left(x+5\right)^4=16\)
Đặt: \(x=t-\dfrac{3+5}{2}=t-4\)
Ta có phương trình:
\(\left(t-1\right)^4+\left(t+1\right)^4=16\)
\(\Leftrightarrow t^4+6t^2-14=0\)
Quay về dạng 1. Phương trình trùng phương.
Các bài tập áp dụng:
a) \(\left(x-2\right)^4+\left(x-3\right)^4=1\)
b) \(\left(x+1\right)^4+\left(x-3\right)^4\)
c) \(\left(x-2,5\right)^4+\left(x-1,5\right)^4=1\)
d) \(\left(x^2+2x-1\right)^4+\left(x^2+2x+5\right)^4=626\)
