Question

[Hà Phương Trần Thị]

cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC . đường trong tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại E và D .

a) chứng minh AD.AC = AE.AB

b) gọi H là giao điểm của BD và CE gọi K là giao điểm của AH và BC . Chứng minh AH vuông góc với BC

c) từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) với M,N là các tiếp điểm . chứng minh \(\widehat{ANM}=\widehat{AKN}\) 

d) chứng minh ba điểm M,H,N thẳng hàng.

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

a) Xét hai tam giác ABD và ACE có:

\(\widehat{A}\) chung

\(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^o\)

\(\Rightarrow\Delta ABD\sim\Delta ACE\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}\Rightarrow AD.AC=AE.AB\)

b) Xét tam giác ABC có BD và CE là hai đường cao nên H là trực tâm. Vậy thì AH vuông góc với BC tại K.

c) Ta thấy AMO; AKO; ANO là các tam giác vuông có chung cạnh huyền AO nên A, M, K, O, N cùng thuộc đường tròn đường kính AO.

Khi đó \(\widehat{AKN}=\widehat{AMN}\)  (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN)

Lại có AM = AN nên \(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)

Suy ra \(\widehat{AKN}=\widehat{ANM}\)

d) Gọi J là giao điểm của MN với AO.

Xét tam giác vuông ANO, đường cao NJ, ta có:

\(AJ.AO=AN^2\)  (Hệ thức lượng)

Lại có \(\Delta AHJ\sim\Delta AOK\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{AO}=\frac{AJ}{AK}\)

\(\Rightarrow AJ.AO=AH.AK\)

\(\Rightarrow AN^2=AH.AK\)

\(\Rightarrow\Delta AHN\sim\Delta ANK\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{ANH}=\widehat{AKN}\)

Mà \(\widehat{AKN}=\widehat{ANM}\Rightarrow\widehat{ANH}=\widehat{ANM}\) hay M, N, H thẳng hàng.

Answer 2

[Lại Trường Sơn]

Hoàng Thị Thu Huyền ơi ngộ nhận kìa. ý d đang chứng minh thẳng hàng mà bạn có 2 cái tam giác AHJ và AOK đồng dạng  (g g) thì sao được ??