Question

[Lê Công Hiếu]

Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB (A; B là hai tiếp điểm). Vẽ dây AD song song  với SB, đoạn SD cắt (O) tại C. Gọi I là trung điểm của CD.

a) Chứng minh: 5 điểm S, A, I, B cùng nằm trên một đường tròn và SA² = SC.SD

b) Gọi H là giao điểm của AB và SO. Chứng minh: Tứ giác CHOD nội tiếp

c) Gọi M là trung điểm của SB; E là giao điểm của SD và AB. Tia ME cắt AD tại F. Chứng minh: 3 điểm B, O, F thẳng hàng.

Answer 1

[Thầy Cao Đô]

a.
$I$ là trung điểm của $CD$ nên $OI \perp CD$.

$\Rightarrow \widehat{SIO} = 90^{\circ}$.

Mà $\widehat{SAO} = \widehat{SBO} = 90^{\circ}$.

Suy ra 5 điểm $S,A,I,O,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $SO$.

Ta có $\widehat{SAC} = \widehat{ADC}$ (cùng chắn cung AC).

Xét $\Delta SAC$ và $\Delta SDA$ có

$\widehat{S}$ chung;

$\widehat{SAC} = \widehat{ADC}$

$\Rightarrow \Delta SAC \sim \Delta SDA$ (g.g).

$\Rightarrow \dfrac{SA}{SD} = \dfrac{SC}{SA} \Rightarrow SA^2 = SC.SD.$

b. 

$\Delta SAO$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$.

$\Rightarrow SA^2 = SH.SO$.

Từ câu a ta có $SH.SO = SC.SA = SA^2 \Rightarrow \dfrac{SH}{SD} = \dfrac{SC}{SO}$.

Xét $\Delta SCH$ và $\Delta SOD$ có

$\widehat{S}$ chung;

$\dfrac{SH}{SD} = \dfrac{SC}{SO}$

$\Rightarrow \Delta SCH \sim \Delta SOD$ (c.g.c).

$\Rightarrow \widehat{SCH} = \widehat{SOD}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow CHOD$ nội tiếp.

c.

Ta có $AD // SB$, $OB \perp SB \Rightarrow OB \perp AD.$

Mà đường kính thì đi qua trung điểm day cung nên $BO$ đi qua trung điểm của AD. (1)

Áp dụng định lí Talet với $AD // SB$, $E = AB \cap SD$ và $F = ME \cap AD$.

$\Rightarrow \dfrac{FD}{SM} = \dfrac{ED}{SE} = \dfrac{AD}{SB} \Rightarrow \dfrac{SM}{SB} = \dfrac{FD}{AD} \Rightarrow F$ là trung điểm của $AD$.

Mà theo (1)  $BO$ đi qua trung điểm $F$ của $AD$ nên ba điểm $B,O,F$ thẳng hàng.