Cho a,b > 0, C khác 0 sao cho 1/a + 1/b +1/c = 0 Chứng minh căn (a+b) = căn(a+c) + căn(b+c)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 7 2021
Lời giải:
$\frac{1}{c}=-(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})< 0$ do $a,b>0$
$\Rightarrow c< 0$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow ab+bc+ac=0$
Từ đây ta có:
\((\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c})^2=a+c+b+c+2\sqrt{(a+c)(b+c)}\)
\(=a+b+2c+2\sqrt{ab+bc+ac+c^2}=a+b+2c+2\sqrt{c^2}\)
\(=a+b+2c+2|c|=a+b+2c+2(-c)=a+b\)
\(\Rightarrow \sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}=\sqrt{a+b}\) (do \(\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\geq 0\))
Ta có đpcm.
30 tháng 6 2023
Từ giả thiết ta có: `1/a+1/b+1/c=0=>ab+bc+ca=0`
Ta có:
`sqrt(a+c)+sqrt(b+c)=\sqrt(a+b)`
`=>(sqrt(a+c)+sqrt(b+c))^2=(sqrt(a+b))^2`
`<=>2c+2\sqrt((a+c)(b+c))=0`
`<=>2c+2\sqrt(ab+bc+ca+c^2)=0`
`<=>2\sqrt(c^2)+2c=0`
`<=>|c|+c=0(**)`
- Nếu `c>=0` thì `(**)<=>2c=0<=>c=0(` Mâu thuẫn với điều kiện toán học do không tồn tại `1/c=1/0)`
Vậy `c<0` do đó `(**)<=>0=0(` Luôn đúng `)`
Vậy ta có `đfcm`
30 tháng 6 2023
Một cách đánh giá khác, bạn có thể tham khảo thêm. Đây là cách khác thôi chứ trên bài mình làm đầy đủ rồi nhé.
-------------
Từ giả thiết `a;b>0` và `1/a+1/b+1/c=0` ta suy ra `c<0`
( Vì nếu `c=0` thì `1/a+1/b+1/c` chưa được xác định do mẫu bằng `0` và `a,b,c>0` thì `1/a;1/b;1/c>0` nên dẫn đến `1/a+1/b+1/c>0` mâu thuẫn do vậy `c<0`)
-----
Bản chất nó vẫn là 1 nếu bạn ghi cái này lên trên đầu thì không phải xét `c>=0` nữa nhé. Không thì bạn cứ làm theo bài mình trên là đúng rồi, đây chỉ nói thêm thôi.
LC
2
1 tháng 3 2020
Ta có: \(\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left(a+b\right)\)
khi đó:
\(P\le\frac{1}{\frac{1}{2}\left(a+b\right)}+\frac{1}{\frac{1}{2}\left(b+c\right)}+\frac{1}{\frac{1}{2}\left(a+c\right)}\)
\(=\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\)
Lại có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}\)=> \(\frac{2}{a+b}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
=> \(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1
Vậy max P = 3 tại a = b = c =1.
T
1 tháng 3 2020
Không thích làm cách này đâu nhưng đường cùng rồi nên thua-_-
Đặt \(\sqrt{x+y}=a;\sqrt{y+z}=b;\sqrt{z+x}=c\) suy ra
\(x=\frac{a^2+c^2-b^2}{2};y=\frac{a^2+b^2-c^2}{2};z=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}\). Ta cần chứng minh:
\(abc\left(a+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)
Đây là bất đẳng thức Schur bậc 3, ta có đpcm.
TT
1
GN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 5 2022
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$P^2=(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c})^2\leq (a+b+b+c+c+a)(1+1+1)=6(a+b+c)=6$
$\Rightarrow P\leq \sqrt{6}$
Vậy gtln của $P$ là $\sqrt{6}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
tuổi con HN là :
50 : ( 1 + 4 ) = 10 ( tuổi )
tuổi bố HN là :
50 - 10 = 40 ( tuổi )
hiệu của hai bố con ko thay đổi nên hiệu vẫn là 30 tuổi
ta có sơ đồ : bố : |----|----|----|
con : |----| hiệu 30 tuổi
tuổi con khi đó là :
30 : ( 3 - 1 ) = 15 ( tuổi )
số năm mà bố gấp 3 tuổi con là :
15 - 10 = 5 ( năm )
ĐS : 5 năm
mình nha