Question

[Ngọc Đan]

cho đường tròn (O) đường kính AB, một điểm M di động trên đường tròn. Gọi  N là điểm đối xứng với A qua M; P là giao điểm thứ 2 của BN với đường tròn (O); Q,R là giao điểm của đường thẳng BM lần lượt với AP và với tiếp tuyến tai A của đường tròn(O).

a) chứng minh N luôn luôn trên 1 đường tròn cố định tiếp xúc với đường tròn (O). Gọi đó là đường tròn (C)

b) chứng minh RN là tiếp tuyến của đường tròn (C)

c) tứ giác ARNQ là hình gì?

không cần vẽ hình nha mn

làm giúp mình với. ai có làm là mình tick đúng cho

làm ơn!!!

Answer 1

[Lê Tài Bảo Châu]

a) Vì \(A,M,B\in\left(O\right)\); AB là đường kính

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=90^0\)

\(\Rightarrow AM\perp MB\)

Xét tam giác ANB có: BM vừa là đường cao vừa là đường trung bình 

\(\Rightarrow\Delta ANB\)cân tại B

\(\Rightarrow NB=BA\)

\(\Rightarrow N\in\left(C;\frac{BA}{2}\right)\)cố định

b) Vì BM là đường cao của tam giác ABN cân tại B

=> BM là phân giác góc ABN

=> góc ABM= góc NBM

Xét tam giác ARB và tam giác NRB có:

\(\hept{\begin{cases}BRchung\\\widehat{ABM}=\widehat{NBM}\left(cmt\right)\\AB=NB\end{cases}\Rightarrow\Delta ARB=\Delta NRB\left(c-g-c\right)}\)

\(\Rightarrow\widehat{RAB}=\widehat{RNB}=90^0\)

\(\Rightarrow RN\perp BN\)

\(\Rightarrow RN\)là tiếp tuyến của (C)

c) Ta có: A,P,B thuộc (O); AB là đường kính

\(\Rightarrow\widehat{APB}=90^0\)

\(\Rightarrow AP\perp BP\)

\(\Rightarrow RN//AP\)( cùng vuông góc với NB )

Xét tam giác NAB có: \(\hept{\begin{cases}MB\perp AN\\AP\perp BN\end{cases}}\); AP cắt BM tại Q

\(\Rightarrow Q\)là trực tâm tam giác NAB

\(\Rightarrow NQ\perp AB\)

=> NQ // AR(  cùng vuông góc với  AB)

Xét tứ giác ARNQ có:

\(\hept{\begin{cases}AR//NQ\left(cmt\right)\\RN//AP\left(cmt\right)\end{cases}\Rightarrow ARNQ}\)là hình bình hành

Mà 2 đường chéo RQ và AN vuông góc với nhau

=> ARNQ là hình thoi