Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ dây CD vuông góc với AB tại I (I nằm giữa A và O). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC, AE cắt CD tại F.
a)CM: BEFI nội tiếp
b)Giả sử CI=a. Tính AF.AE-AI.AB theo a
c) Gọi O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ACE\). Tìm vị trí điểm E đê O1D đạt GTNN
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 7 2023
Xét ΔIAC vuông tại I và ΔIDB vuông tại I có
góc IAC=góc IDB
=>ΔIAC đồng dạng với ΔIDB
=>IA/ID=IC/IB
=>IA*IB=ID*IC
Xét ΔACF và ΔAEC có
góc ACF=góc AEC
góc CAF chung
=>ΔACF đồng dạng với ΔAEC
=>AC/AE=AF/AC
=>AC^2=AE*AF
21 tháng 1 2022
a) Xét (O): E \(\in\) (O) (gt).
\(\Rightarrow\) \(\widehat{AEB}=90^o\) (Góc nội tiếp).
Xét tứ giác BEFI:
\(\widehat{AEB}+\widehat{CIB}=90^o+90^o=180^o.\)
Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau.
\(\Rightarrow\) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Xét (O): \(CD\perp AB\) tại I (gt).
AB là đường kính; CD là dây (gt).
\(\Rightarrow\) I là trung điểm của CD.
Xét tam giác ACD:
AI là đường trung tuyến (I là trung điểm của CD).
AI là đường cao \(\left(AI\perp CD\right).\)
\(\Rightarrow\) Tam giác ACD cân tại A. \(\Rightarrow\) AC = AD (Tính chất tam giác cân).
Xét (O): AC = AD (cmt). \(\Rightarrow sđ\stackrel\frown{AC}=sđ\stackrel\frown{AD}.\)
Xét (O): \(\widehat{ACF}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AD}\) (Góc nội tiếp).
Mà \(sđ\stackrel\frown{AD}=sđ\stackrel\frown{AC}\left(cmt\right).\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{ACF}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AC}.\)
Mà \(\widehat{AEC}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AC}\) (Góc nội tiếp).
\(\Rightarrow\widehat{ACF}=\widehat{AEC}.\)
Xét tam giác ACF và tam giác AEC:
\(\widehat{A}chung.\)
\(\widehat{ACF}=\widehat{AEC}\left(cmt\right).\)
\(\Rightarrow\) Tam giác ACF \(\sim\) Tam giác AEC (g - g).
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{AF}{AC}\) (2 cạnh tương ứng tỉ lệ).
\(\Rightarrow AC^2=AE.AF\left(đpcm\right).\)
8 tháng 1 2022
a: Xét (O) có
ΔAEB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAEB vuông tại E
Xét tứ giác BEFI có
\(\widehat{BEF}+\widehat{BIF}=180^0\)
Do đó: BEFI là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔACE và ΔAFC có
\(\widehat{CAF}\) chung
\(\widehat{AEC}=\widehat{ACF}\)
Do đó: ΔACE\(\sim\)ΔAFC
Suy ra: \(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AC}{AF}\)
hay \(AE\cdot AF=AC^2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 1 2022
Do E thuộc đường tròn \(\Rightarrow\widehat{AEB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
\(\Rightarrow\widehat{AEB}=90^0\)
Lại có \(\widehat{FIB}=90^0\) (do \(CD\perp AB\) tại I)
\(\Rightarrow\) E và I cùng nhìn BF dưới 1 góc vuông
\(\Rightarrow\) Tứ giác BEFI nội tiếp đường tròn đường kính BF
b.
Xét hai tam giác vuông AIF và AEB có: góc \(\widehat{IAF}\) chung
\(\Rightarrow\Delta_VAIF\sim\Delta_VAEB\left(g.g\right)\Rightarrow\dfrac{AI}{AE}=\dfrac{AF}{AB}\Rightarrow AI.AB=AE.AF\) (1)
Mặt khác \(\widehat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
\(\Rightarrow\Delta ACB\) vuông tại C
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ACB với đường cao CI:
\(AC^2=AI.AB\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow AE.AF=AC^2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 1 2022
Do AB là đường kính và D thuộc đường tròn
\(\Rightarrow\widehat{ADB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
\(\Rightarrow\widehat{ADB}=90^0\) hay tam giác ADB vuông tại D
Xét tam với vuông ADB với đường cao DH, áp dụng hệ thức lượng ta có:
\(AD^2=AH.AB\)
29 tháng 4 2023
a: góc AEB=1/2*180=90 độ
góc BEF+góc BIF=180 độ
=>BEFI nội tiếp
b: Xét ΔACF và ΔAEC có
góc ACF=góc AEC
góc CAF chung
=>ΔACF đồng dạng với ΔAEC
=>AC^2=AF*AE=AC*AD
13 tháng 5 2016
a, ta có góc FIB=90° (gt)
góc FEB= góc AEB=90° (góc ntiêp chắn nửa đg tròn)
=> góc FIB+FEB=180°
=> tứ giác BEFI nội tiếp
b) Xét tam giác AFC và tam giác ACE có:
góc CAE chung
Do AO vuông góc vs CD => cung AC=cung AD
mà góc ACD=1/2 sđ cung AD; Góc CEA=1/2 sđ Cung AC
=> góc ACD=CEA (chăn 2 cung =nhau)
=> tam giác AFC đồng dạng vs tam giác ACE (g.g)
=> AE/AC=AC/AF
=> AE.AF=AC^2 (đpcm)
a. Xét (O) , có
CD \(\perp\)AB = {I}
=> \(\widehat{CIB}=90^o\Rightarrow\widehat{FIB}=90^o\)
Có: \(\widehat{AEB}\)là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB
\(\Rightarrow\widehat{AEB}=90^o\Rightarrow\widehat{IEB}=90^o\)
Xét tứ giác EFIB, có:
\(\widehat{FEB}+\widehat{FIB}=90^o+90^o=180^o\)
2 góc \(\widehat{FEB}\)và \(\widehat{FIB}\)là 2 góc đối nhau
=> EFIB là tứ giác nội tiếp (dhnb) (đpcm)