Question

[Hà Lê]

cho số thực dương a,b,c,d. chứng minh:

\(\frac{1}{a^4+b^4+c^4+abcd}+\frac{1}{b^4+c^4+d^4+abcd}+\frac{1}{a^4+c^4+d^4+abcd}+\frac{1}{a^4+b^4+d^4+abcd}\le\frac{1}{abcd}\)

Answer 1

[Thiên An]

Ta chứng minh bất đẳng thức sau  

Với x, y, z > 0 ta luôn có  \(x^4+y^4+z^4\ge xyz\left(x+y+z\right)\)  (1)

Theo BĐT Cô-si

\(x^4+x^4+y^4+z^4\ge4\sqrt[4]{x^8y^4z^4}=4x^2yz\)

\(y^4+y^4+z^4+x^4\ge4\sqrt[4]{y^8z^4x^4}=4y^2zx\)

\(z^4+z^4+x^4+y^4\ge4\sqrt[4]{z^8x^4y^4}=4z^2xy\)

Cộng vế theo vế ta được:  \(4\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge4\left(x^2yz+y^2zx+z^2xy\right)\)

\(\Leftrightarrow\)  \(x^4+y^4+z^4\ge xyz\left(x+y+z\right)\)

Vậy (1) đc c/m

Bất đẳng thức cần c/m có thể viết lại thành

\(\frac{abcd}{a^4+b^4+c^4+abcd}+\frac{abcd}{b^4+c^4+d^4+abcd}+\frac{abcd}{c^4+d^4+a^4+abcd}+\frac{abcd}{d^4+a^4+b^4+abcd}\le1\)

Áp dụng (1) ta có  

\(\frac{abcd}{a^4+b^4+c^4+abcd}\le\frac{abcd}{abc\left(a+b+c\right)+abcd}=\frac{abcd}{abc\left(a+b+c+d\right)}=\frac{d}{a+b+c+d}\)

Tương tự  

\(\frac{abcd}{b^4+c^4+d^4+abcd}\le\frac{a}{a+b+c+d}\)

\(\frac{abcd}{c^4+d^4+a^4+abcd}\le\frac{b}{a+b+c+d}\)

\(\frac{abcd}{d^4+a^4+b^4+abcd}\le\frac{c}{a+b+c+d}\)

Cộng theo vế suy ra đpcm.