Question

[Sino]

Cho tam giác abc vuông tại A, AH vuông góc BC, HE vuông góc AB, HF vuông góc AC. Gọi I, J là trung điểm BH, CH. Chứng minh IE, IF là tiếp tuyến tâm O và IE song song JF

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

O là giao của AH và EF

\(AF\perp AB;HE\perp AB\) => AF//HE

\(AE\perp AC;HF\perp AC\) => AE//HF

=> AEHF là hình bình hành mà \(\widehat{A}=90^o\) => AEHF là HCN

\(\Rightarrow AH=EF\) (trong HCN hai đường chéo băng nhau)

\(OA=OH;OE=OF\) (trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> OE=OH => tg OEH cân tại O

Vì AEHF là HCN nên

\(\widehat{EAF}=\widehat{EHF}=90^o\) => A và H cùng nhìn EF dưới 1 góc vuông => AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O bán kính EF

Xét tg vuông BEH có

IB=IH (gt) \(\Rightarrow IE=IB=IH=\dfrac{BH}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền)

=> tg IEH cân tại I \(\Rightarrow\widehat{IEH}=\widehat{IHE}\) (1)

tg OEH cân tại O (cmt) \(\Rightarrow\widehat{OEH}=\widehat{OHE}\) (2)

Mà \(\widehat{IHE}+\widehat{OHE}=\widehat{AHB}=90^o\) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{IEH}+\widehat{OEH}=\widehat{FEI}=90^o\)

\(\Rightarrow IE\perp EF\) mà EF là đường kính (O) => IE là tiếp tuyến đường tròn (O).

C/m tương tự ta cũng có \(JF\perp EF\) => JF cũng là tiếp tuyến với (O)

=> IE//JF (cùng vuông góc với EF)