Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o\) nên tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC. Tâm I của đường tròn này là trung điểm của BC
a) Xét tứ giác BCEF có
\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}\left(=90^0\right)\)
nên BCEF là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCEF là trung điểm của BC
bạn tham khảo ở đây nha,bài này mình từng làm rồi
https://hoc24.vn/cau-hoi/881cho-tam-giac-abc-nhon-noi-tiep-duong-tron-o-cac-duong-cao-adbecf-cat-nhau-tai-ha-chung-minh-tu-giac-bcef-noi-tiep-va-xac-dinh-tam-i-cua-duong-tron-ngoai-tiep-tu-giacb-duong-thang-ef-cat-duon.1092906662181
a) Ta có: \(\angle BFC=\angle BEC=90\Rightarrow BCEF\) nội tiếp
Gọi I là trung điểm BC
Ta có: \(\Delta BFC\) vuông tại F có I là trung điểm BC \(\Rightarrow IF=IB=IC\)
\(\Delta BEC\) vuông tại E có I là trung điểm BC \(\Rightarrow IE=IB=IC\)
\(\Rightarrow IE=IF=IB=IC\Rightarrow I\) là tâm (BCEF)
b) Xét \(\Delta MKB\) và \(\Delta MCT:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MKB=\angle MCT\left(BKTCnt\right)\\\angle TMCchung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta MKB\sim\Delta MCT\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{MK}{MC}=\dfrac{MB}{MT}\Rightarrow MK.MT=MB.MC\left(1\right)\)
Xét \(\Delta MFB\) và \(\Delta MCE:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MFB=\angle MCE\left(BCEFnt\right)\\\angle EMCchung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta MFB\sim\Delta MCE\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{MF}{MC}=\dfrac{MB}{ME}\Rightarrow MB.MC=MF.ME\left(2\right)\)
Ta có: \(\angle AFC=\angle ADC=90\Rightarrow AFDC\) nội tiếp
Tương tự \(\Rightarrow ABDE,AEHF\) nội tiếp
Ta có: \(\angle FEI=\angle FEB+\angle BEI=\angle FAH+\angle EBI\) (\(\Delta EBI\) cân tại I)
\(=\angle FAH+\angle EAD=\angle BAC=\angle BDF\) (AFDC nội tiếp)
\(\Rightarrow FDIE\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle MDF=\angle MEI\)
Xét \(\Delta MFD\) và \(\Delta MIE:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MDF=\angle MEI\\\angle EMIchung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta MFD\sim\Delta MIE\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{MF}{MI}=\dfrac{MD}{ME}\Rightarrow MD.MI=MF.ME\left(3\right)\)
Từ (1),(2) và (3) \(\Rightarrow MD.MI=MK.MT\)
c) Từ C kẻ đường thẳng song song với NS cắt AB,AD lần lượt tại J và L
Vì \(CJ\parallel NS\) và \(NS\bot IH\Rightarrow CJ\bot IH\) mà \(CD\bot HL\)
\(\Rightarrow I\) là trực tâm tam giác CHL \(\Rightarrow LI\bot HC\) mà \(AJ\bot CH\)
\(\Rightarrow IL\parallel BJ\) mà I là trung điểm BC \(\Rightarrow L\) là trung điểm CJ
mà \(CJ\parallel NS\) \(\Rightarrow G\) là trung điểm NS (dùng Thales để biến đổi thôi,bạn tự chứng minh nha)
a) Ta có: \(\angle AFH+\angle AEH=90+90=180\Rightarrow AEHF\) nội tiếp
Gọi D là trung điểm AH
Vì \(\Delta AEH\) vuông tại E có D là trung điểm AH \(\Rightarrow DE=DA=DH\)
Tương tự \(\Rightarrow DF=DA=DH\Rightarrow DE=DF=DA=DH\)
\(\Rightarrow D\) là tâm (AEHF)
Tương tự,ta chứng minh BCEF nội tiếp đường tròn có tâm là BC
b) Xét \(\Delta MFB\) và \(\Delta MCE:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle EMCchung\\\angle MFB=\angle MCE\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta MFB\sim\Delta MCE\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{MF}{MC}=\dfrac{MB}{ME}\Rightarrow ME.MF=MB.MC\)
Xét \(\Delta MNB\) và \(\Delta MCA:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle AMCchung\\\angle MNB=\angle MCA\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta MNB\sim\Delta MCA\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{MN}{MC}=\dfrac{MB}{MA}\Rightarrow MN.MA=MB.MC\)
\(\Rightarrow MN.MA=ME.MF\Rightarrow\dfrac{MN}{ME}=\dfrac{MF}{MA}\)
Xét \(\Delta MNF\) và \(\Delta MEA:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle AMEchung\\\dfrac{MN}{ME}=\dfrac{MF}{MA}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta MNF\sim\Delta MEA\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle MNF=\angle MEA\Rightarrow ANFE\) nội tiếp
c) ANFE nội tiếp mà AEHF nội tiếp \(\Rightarrow A,E,H,F,N\) cùng thuộc 1 đường tròn
\(\Rightarrow\angle ANH=\angle AFH=90\Rightarrow NH\bot AN\)
Vì AK là đường kính \(\Rightarrow\angle ANK=90\Rightarrow NK\bot AN\)
\(\Rightarrow N,H,K\) thẳng hàng
a. Xét tứ giác AEHF có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{HFA}=90^o\\\widehat{HEA}=90^o\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\widehat{HFA}+\widehat{HEA}=180^o\)\(\Rightarrow\)Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính HA
Tương tự ta có, xét tứ giác BCEF có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BFC}=90^o\\\widehat{BEC}=90^o\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\widehat{BFC}+\widehat{BEC}=180^o\)\(\Rightarrow\) Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC
b. Xét đường tròn (O;R) có: \(\widehat{CNM}=\widehat{CBM}\) (cùng nhìn \(\stackrel\frown{CM}\))
Xét tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn ta có: \(\widehat{CFE}=\widehat{CBE}\) (cùng nhìn \(\stackrel\frown{CM}\))
\(\Rightarrow\widehat{CNM}=\widehat{CFE}\) (ở vị trí đồng vị)
\(\Rightarrow\)MN//EF (đpcm)
a: Xét tứ giác AEHF có
\(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\)
Do đó: AEHF là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác BCEF có
\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)
Do đó: BCEF là tứ giác nội tiếp
Sửa đề: Hai đường cao BN,CK
a: góc AKH+góc ANH=180 độ
=>AKHN nội tiếp
Tâm là trung điểm của AH
b: Xet ΔANB vuông tại N và ΔAKC vuông tại K có
góc A chung
=>ΔANB đồng dạng với ΔAKC
=>NB/KC=AN/AK
=>NB*AK=AN*KC
c: góc BKC=góc BNC=90 độ
=>BKNC nội tiếp
d: Xét ΔACB co
BN,CK là đường cao
BN cắt CK tại H
=>H là trực tâm
=>AH vuông góc CB
