Cho n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 là số chính phương.Chứng minh n chia hết cho 24
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
26 tháng 1 2016
Vì n+1 và 2n+1 là số chính phương nên ta đặt n+1=k2 và 2n+1=m2 (k,m \(\in\)N)
Ta có: 2n+1 là số lẻ => m2 là số lẻ =>m là số lẻ
=>m=2a+1 (a \(\in\) N)
=>m2=(2a+1)2=(2a)2+2.2a.1+12
=4a.a+4.a+1
=4a(a+1)+1
=>n=\(\frac{2n-1}{2}=\frac{4a\left(a+1\right)+1-1}{2}=\frac{4a\left(a+1\right)}{2}=2a\left(a+1\right)\)
=>n là số chẵn
=>n+1 là số lẻ => n+1=2b+1 (b \(\in\)N)
=>k2=(2b+1)2=(2b)2+2.2b.1+12
=4b.b+4b+1
=4b(b+1)+1
=>n=4b(b+1)+1-1=4b(b+1)
Ta có: b(b+1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp
=>4b(b+1) chia hết cho 2.4=8 (1)
Ta có: k2+m2=(n+1)+(2n+1)=3n+2=2 (mod 3)
Mà k2 chia 3 dư 0 hoặc 1; m2 chia 3 dư 0 hoặc 1
=>Để k2+m2 =2 (mod 3)
thì k2=1 (mod 3)
và m2=1 (mod 3)
=>m2-k2 chia hết cho 3
=>(2n+1)-(n+1)=n chia hết cho 3
Vậy n chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) và (8;3)=1
=>n chia hết cho 8.3=24 (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 1 2022
1.
\(2n+1\) luôn lẻ \(\Rightarrow2n+1=\left(2a+1\right)^2=4a^2+4a+1\Rightarrow n=2a\left(a+1\right)\)
\(\Rightarrow n\) chẵn \(\Rightarrow n+1\) lẻ \(\Rightarrow\) là số chính phương lẻ
\(\Rightarrow n+1=\left(2b+1\right)^2=4b^2+4b+1\)
\(\Rightarrow n=4b\left(b+1\right)\)
Mà \(b\left(b+1\right)\) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp \(\Rightarrow\) luôn chẵn
\(\Rightarrow4b\left(b+1\right)⋮8\Rightarrow n⋮8\)
Mặt khác số chính phương chia 3 chỉ có các số dư 0 và 1
Mà \(\left(n+1\right)+\left(2n+1\right)=3n+2\) chia 3 dư 2
\(\Rightarrow n+1\) và \(2n+1\) đều chia 3 dư 1
\(\Rightarrow n⋮3\)
\(\Rightarrow n⋮24\) do 3 và 8 nguyên tố cùng nhau
IM
22 tháng 11 2016
Vì 2 n - 1 là số chính phương . Mà 2n - 1 lẻ
\(\Rightarrow2n+1=1\left(mod8\right)\)
=> n \(⋮\) 4
=> n chẵn
=> n+1 cũng là số lẻ
\(\Rightarrow n+1=1\left(mod8\right)\)
=> n \(⋮\) 8
Mặt khác :
\(3n+2=2\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)+\left(2n+1\right)=2\left(mod3\right)\)
Mà n+1 và 2n+1 là các số chính phương lẻ
\(\Rightarrow n+1=2n+1=1\left(mod3\right)\)
=> n chia hết cho 3
Mà ( 3 ; 8 ) = 1
=> n chia hết cho 24
D
22 tháng 11 2016
Vì n + 1 và 2n + 1 đêu là phân số chính phương nên đặt n+1 = k\(^2\), 2n+1 = m\(^2\)( k, m \(\in\) N)
Ta có m là số lẻ => m = 2a+1 =>m\(^2\)= 4a(a+1)+1
=>n=\(\frac{m^2-1}{2}\)=\(\frac{4a\left(a+1\right)}{2}\)=2a(a+1)
=> n chẵn =>n+1 là số lẻ =>k lẻ =>Đặt k = 2b+1 (Với b \(\in\) N) =>k\(^2\)=4b(b+1)+1
=> n=4b(b+1) =>n \(⋮\)8 (1)
Ta có k\(^2\) + m\(^2\) =3n+2=2 ( mod3)
Mặt khác k\(^2\) chia 3 dư 0 hoặc 1 ,m\(^2\)chia 3 dư 0 hoặc 1
Nên để k\(^2\)+m\(^2\) =2 (mod3) thì k\(^2\) = 1(mod3)
m\(^2\) = 1 (mod3)
=>m\(^2\)-k\(^2\)\(⋮\)3 hay (2n+1)-(n+1) \(⋮\)3 =>n \(⋮\) 3
Mà (8;3)=1
Từ (1) ; (2) và (3) => n \(⋮\) 24
27 tháng 4 2017
Nhận xét rằng một số nguyên dương không thể chia 33 dư 22 nên nếu nn không chia hết cho 33 thì một trong hai số n+1,2n+1n+1,2n+1 có một số chia 3 dư 2 nên vô lý. Vậy n⋮3n⋮3. (1)(1)
Có 2n+12n+1 là một chính phương lẻ nên 2n+12n+1 chia 88 dư 11 nên nn chẵn nên n+1n+1 cũng là số chính phương lẻ nên n+1n+1 chia 88 dư 11 nên nn chia hết cho 88. (2)(2)
Từ (1),(2)(1),(2) có n⋮24
