Cho a,b,c >0 thỏa mãn : \(a^2+b^2+c^2=abc\\\) .Tìm max của biểu thức :
\(P=\dfrac{a}{a^2+bc}+\dfrac{b}{b^2+ca}+\dfrac{c}{c^2+ab}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 1 2021
\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\)
\(\Leftrightarrow9abc\ge12\left(ab+bc+ca\right)-27\)
\(\Rightarrow abc\ge\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3\)
\(P\ge\dfrac{9}{a\left(b^2+bc+c^2\right)+b\left(c^2+ca+a^2\right)+c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{ab+bc+ca}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{3+abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3+\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3}{ab+bc+ca}=\dfrac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
8 tháng 1 2021
Hi vọng là tìm GTLN:
Không mất tính tổng quát, giả sử b, c cùng phía với 1 \(\Rightarrow\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\Leftrightarrow bc\ge b+c-1\).
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge a^2+2bc+abc\Leftrightarrow2bc+abc\le4-a^2\Leftrightarrow bc\left(a+2\right)\le\left(2-a\right)\left(a+2\right)\Leftrightarrow bc+a\le2\)
\(\Rightarrow a+b+c\le3\).
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:
\(P\le\dfrac{ab}{9}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}\right)+\dfrac{bc}{9}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)+\dfrac{ca}{9}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{a}\right)=\dfrac{1}{9}.3\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)\le1\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 4 2021
\(ab+bc+ca=3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c\ge3\\abc\le1\end{matrix}\right.\)
Ta sẽ chứng minh \(P\le\dfrac{3}{8}\)
\(P\le\dfrac{a}{6a+2}+\dfrac{b}{6b+2}+\dfrac{c}{6c+2}\) nên chỉ cần chứng minh: \(\dfrac{a}{3a+1}+\dfrac{b}{3b+1}+\dfrac{c}{3c+1}\le\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{3a+1}+\dfrac{1}{3b+1}+\dfrac{1}{3c+1}\ge\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(3a+1\right)\left(3b+1\right)+\left(3b+1\right)\left(3c+1\right)+\left(3c+1\right)\left(3a+1\right)}{\left(3a+1\right)\left(3b+1\right)\left(3c+1\right)}\ge\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{6\left(a+b+c\right)+30}{27abc+3\left(a+b+c\right)+28}\ge\dfrac{3}{4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{6\left(a+b+c\right)+30}{27+3\left(a+b+c\right)+28}\ge\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow24\left(a+b+c\right)+120\ge165+9\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge3\) (đúng)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 10 2021
Lời giải:
\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\Rightarrow \frac{abc}{c(a+b)}=\frac{abc}{a(b+c)}=\frac{bca}{b(c+a)}\)
\(\Leftrightarrow c(a+b)=a(b+c)=b(c+a)\)
\(\Leftrightarrow ac+bc=ab+ac=bc+ab\Leftrightarrow ab=bc=ac\)
\(\Rightarrow a=b=c\) (do $a,b,c>0$)
$\Rightarrow M=\frac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 3 2021
\(N=\dfrac{\left(ab\right)^3+\left(bc\right)^3+\left(ca\right)^3}{\left(ab\right)\left(bc\right)\left(ca\right)}\)
Đặt \(\left(ab;bc;ca\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=0\Rightarrow N=\dfrac{x^3+y^3+z^3}{xyz}\)
\(N=\dfrac{x^3+y^3+z^3-3xyz+3xyz}{xyz}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]+3xyz}{xyz}=\dfrac{3xyz}{xyz}=3\)
AT
27 tháng 7 2021
\(P=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\) (BĐT Cauchy Schwarz)
\(=\dfrac{9}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
\(=\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}\)
\(\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}\)
\(=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}\)
Ta có: \(ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{1}{3}\) .Thế vào biểu thức
\(\Rightarrow P\ge9+\dfrac{7}{\dfrac{1}{3}}=9+21=30\)
\(\Rightarrow P_{min}=30\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 11 2021
\(\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{bc}{b+c}=\dfrac{ca}{c+a}\Rightarrow\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{b+c}{bc}=\dfrac{c+a}{ca}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{c}\\\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow M=\dfrac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1\)
\(P\le\dfrac{a}{2\sqrt{a^2bc}}+\dfrac{b}{2\sqrt{b^2ca}}+\dfrac{c}{2\sqrt{c^2ab}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ca}}\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab+bc+ca}{abc}\right)\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc}\right)=\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)
Áp dụng cosi:
`a^2+bc>=2a\sqrt{bc}`
Hoàn toàn tương tự:
`=>P<=1/2(1/sqrt{ab}+1/sqrt{bc}+1/sqrt{ca})`
Áp dụng cosi:
`1/a+1/b+1/c>=1/sqrt(ab)+1/sqrt(bc)+1/sqrt(ca)`
`=>P<=1/2(1/a+1/b+1/c)`
`=>P<=1/2((ab+bc+ca)/(abc))<=(a^2+b^2+c^2)/(2(abc))=1/2`
Dấu "=" `<=>a=b=c=3`