Question

[doremon]

Cho tam giác vuông cân ABC (AB=AC), tia phân giác của các góc B và C cắt AC và AB lần lượt tại E và D.

Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường thẳng này cắt BC lần lượt ở K và H. Chứng minh rằng KH=KC

Answer 1

[Lê Anh Tú]

a, △ABE=△ACD (g.c.g) vì AB=AC;A^ chung; ABE^=ACD^=4502
⇒BE=CD;AE=AD;AEB^=ADC^

b, △BDI=△CEI (g.c.g) vì BD=EC(=AB−AD);BDI^=IEC^(=1800−BEA^);ABE^=ACD^=4502
⇒ID=IE

△ADI=△AEI (c.g.c) vì AD=AE;ADC^=AEB^;ID=IE
⇒DAI^=EAI^=9002=450

△AMC có CAM^=MCA^=450⇒△AMC vuông cân tại M.

Chứng minh tương tự có △AMB vuông cân tại M.

c, Gọi F là giao điểm của BE và AK.

△BAF=△BKF (g.c.g) vì BFA^=BFK^=900;BF chung ABF^=KBF^=4502
⇒AB=BK

Chứng minh tương tự có ⇒BD=BH ⇒HK=AD(1)

△ABE=△KBE (c.g.c) vì AB=BK;ABE^=KBE^=4502;BE chung.
⇒AE=EK;BKE^=BAE^=900

⇒EK⊥BC hay △EKC vuông cân tại K⇒KC=KE=AE=AD(2)

Từ (1) và (2) ⇒HK=CK