Cho các số nguyên a,b,c khác 0 thỏa mãn điều kiện: \(\frac{5b+2c\left(4+c^6\right)}{a+b+c}=1\)
Chứng minh rằng: a7+3b7-2c chia hết cho 7
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
G
Cho các số nguyên dương a,b,c khác 0 thỏa mãn điều kiện: \(\frac{5b+2c\left(4+c^6\right)}{a+b+c}=1\)
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 12 2017
Lời giải:
Đặt \(A=a^7+3b^7-2c\)
Ta có: \(\frac{5b+2c(4+c^6)}{a+b+c}=1\)
\(\Leftrightarrow 5b+2c(4+c^6)=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow 4b+7c+2c^7=a\)
----------------------------------------
Ta có bổ đề sau: Với mọi số tự nhiên $n$ nào đó thì \(n^7\equiv n\pmod 7\)
Chứng minh :
Thật vậy.
Với \(n\equiv 0\pmod 7\) thì \(n^7\equiv 0\equiv n\pmod 7\)
Với \(n\not\equiv 0\pmod 7\) hay \((n,7)=1\). Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta có:
\(n^6\equiv 1\pmod 7\Rightarrow n^7\equiv n\pmod 7\)
Ta có đpcm.
--------------------
Quay trở lại bài toán:
Áp dụng bổ đề trên ta có:
\(A=a^7+3b^7-2c\equiv a+3b-2c^7\pmod 7\)
\(\Leftrightarrow A\equiv 4b+7c+2c^7+3b-2c^7\pmod 7\)
\(\Leftrightarrow A\equiv 7b+7c\equiv 0\pmod 7\)
Hay \(A\vdots 7\)
Chứng minh hoàn tất.
BD
0
23 tháng 5 2021
Ta có:
sigma \(\frac{ab}{3a+4b+5c}=\) sigma \(\frac{2ab}{5\left(a+b+2c\right)+\left(a+3b\right)}\le\frac{2}{36}\left(sigma\frac{5ab}{a+b+2c}+sigma\frac{ab}{a+3b}\right)\)
Ta đi chứng minh: \(sigma\frac{ab}{a+b+2c}\le\frac{9}{4}\)
có: \(sigma\frac{ab}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(sigma\frac{ab}{c+a}+sigma\frac{ab}{b+c}\right)=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{9}{4}\)
BĐT trên đúng nếu: \(sigma\frac{ab}{a+3b}\le\frac{9}{4}\)
Ta thấy: \(sigma\frac{ab}{a+3b}\le\frac{1}{16}\left(sigma\frac{ab}{a}+sigma\frac{3ab}{b}\right)=\frac{1}{16}\)( sigma \(b+sigma3a\)) \(=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow sigma\frac{ab}{3a+4b+5c}\le\frac{1}{18}\left(5.\frac{9}{4}+\frac{9}{4}\right)=\frac{3}{4}\)(1)
MÀ: \(\frac{1}{\sqrt{ab\left(a+2c\right)\left(b+2c\right)}}=\frac{2}{2\sqrt{\left(ab+2bc\right)\left(ab+2ca\right)}}\ge\frac{2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(=\frac{3}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3}{9^2}=\frac{1}{27}\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow T\le\frac{3}{4}-\frac{1}{27}=\frac{77}{108}\)
Vậy GTLN của biểu thức T là 77/108 <=> a=b=c=3
