Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn \(a^3+b^3+c^3=3abc\)và \(abc\ne0\). Tính:
\(P=\frac{ab^2}{a^2+b^2-c^2}+\frac{bc^2}{b^2+c^2-a^2}+\frac{ca^2}{c^2+a^2-b^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TA
7 tháng 7 2017
Ta có \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(a+b+c=0\) hoặc \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
Giả sử \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\) a = b hoặc b = c hoặc c = a
Mà a, b, c đôi một khác nhau (vô lí) => a + b + c = 0
Do đó \(\hept{\begin{cases}-c=a+b\\-b=a+c\\-a=b+c\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}c^2=a^2+2ab+b^2\\b^2=a^2+2ac+c^2\\a^2=b^2+2bc+c^2\end{cases}}\)
Hay \(P=\frac{ab^2}{a^2+b^2-a^2-2ab-b^2}+\frac{bc^2}{b^2+c^2-b^2-2bc-c^2}+\frac{ca^2}{c^2+a^2-c^2-2ca-a^2}\)
\(=\frac{ab^2}{-2ab}+\frac{bc^2}{-2bc}+\frac{ca^2}{-2ca}=\frac{-1}{2}\left(a+b+c\right)=0\)
23 tháng 6 2017
\(a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a=b=c\end{cases}}\)
...... bạn làm 2 TH rồi thế vào P nhé, chỗ phân tích ko hiểu thì cứ hỏi lại mình
16 tháng 10 2020
a, b, c đôi một khác nhau => a ≠ b ≠ c
a3 + b3 + c3 = 3abc
<=> a3 + b3 + c3 - 3abc = 0
<=> ( a + b )3 - 3ab( a + b ) + c3 - 3abc = 0
<=> [ ( a + b )3 + c3 ] - [ 3ab( a + b ) + 3abc ] = 0
<=> ( a + b + c )( a2 + b2 + c2 + 2ab - ac - bc ) - 3ab( a + b + c ) = 0
<=> ( a + b + c )( a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc ) = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\end{cases}}\)
I) \(a+b+c=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}-a=b+c\\-b=a+c\\-c=a+b\end{cases}}\)
Xét các mẫu thức ta có :
1) a2 + b2 - c2 = a2 + ( b - c )( b + c ) = a2 - a( b + c ) = a2 - ab + ac = a( a - b + c ) = a( a + b + c - 2b ) = -2ab
TT : b2 + c2 - a2 = -2bc
c2 + a2 - b2 = -2ac
Thế vô A ta được :
\(A=\frac{-1}{2ab}+\frac{-1}{2bc}+\frac{-1}{2ac}=\frac{-c}{2abc}+\frac{-a}{2abc}+\frac{-b}{2abc}=\frac{-\left(a+b+c\right)}{2abc}=0\)
II) a2 + b2 + c2 - ab - ac - ab = 0
<=> 2(a2 + b2 + c2 - ab - ac - ab) = 2.0
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2ab = 0
<=> ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( c - a )2 = 0
<=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)( trái với đề bài )
=> A = 0
8 tháng 3 2017
GT không hợp lí
Theo định lí cosi 3 số
a^3+b^3+c^3>=3*canbacba(a^3*b^3*c^3)
<=> a^3+b^3+c^3>=3abc
dấu"=" khi a=b=c
trái Gt a,b,c đôi một khác nhau
11 tháng 8 2016
Ta có:\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\)\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{c+a}{ca}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\)\(\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow a=b=c\)
Ta có:\(\frac{ab^2+bc^2+ca^2}{a^3+b^3+c^3}=\frac{a\cdot a^2+a\cdot a^2+a\cdot a^2}{a^3+a^3+a^3}\)\(\Rightarrow\frac{3a^3}{3a^3}=1\)
TM
25 tháng 10 2016
\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{c+a}{ca}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{ab}+\frac{b}{ab}=\frac{b}{bc}+\frac{c}{bc}=\frac{c}{ca}+\frac{a}{ac}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\)
<=> a = b = c
Vậy \(\frac{ab^2+bc^2+ca^2}{a^3+b^3+c^3}=\frac{a^3+a^3+a^3}{a^3+a^3+a^3}=1\)
