1. Cho góc \(\alpha\) thỏa mãn \(60^0\le\alpha< 90^0.\) Tìm GTNN của \(\left(\tan\alpha-1\right)^2+\left(\frac{1}{\tan\alpha}-1\right)^2\)
2. Với giá trị nào của góc nhọn x thì \(P\left(x\right)=3\sin x+\sqrt{3}\cos x\) có GTNN? Tìm GTNN đó.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AT
30 tháng 7 2021
\(\left(\sqrt{\dfrac{1+sin\alpha}{1-sin\alpha}}+\sqrt{\dfrac{1-sin\alpha}{1+sin\alpha}}\right).\dfrac{1}{\sqrt{1+tan^2\alpha}}\)
\(=\left(\sqrt{\dfrac{\left(1+sin\alpha\right)^2}{\left(1-sin\alpha\right)\left(1+sin\alpha\right)}}+\sqrt{\dfrac{\left(1-sin\alpha\right)^2}{\left(1+sin\alpha\right)\left(1-sin\alpha\right)}}\right).\dfrac{1}{\sqrt{1+\left(\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}\right)^2}}\)
\(=\left(\sqrt{\dfrac{\left(1+sin\alpha\right)^2}{1-sin^2\alpha}}+\sqrt{\dfrac{\left(1-sin\alpha\right)^2}{1-sin^2\alpha}}\right).\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{cos^2\alpha+sin^2\alpha}{cos^2\alpha}}}\)
\(=\left(\sqrt{\dfrac{\left(1+sin\alpha\right)^2}{cos^2\alpha}}+\sqrt{\dfrac{\left(1-sin\alpha\right)^2}{cos^2\alpha}}\right).\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{cos^2\alpha}}}\)
\(=\left(\dfrac{1+sin\alpha}{cos\alpha}+\dfrac{1-sin\alpha}{cos\alpha}\right).\dfrac{1}{\dfrac{1}{cos\alpha}}=\dfrac{2}{cos\alpha}.cos\alpha=2\)
HP
1 tháng 6 2021
2.
ĐK: \(2x-y\ge0;y\ge0;y-x-1\ge0;y-3x+5\ge0\)
\(\left\{{}\begin{matrix}xy-2y-3=\sqrt{y-x-1}+\sqrt{y-3x+5}\left(1\right)\\\left(1-y\right)\sqrt{2x-y}+2\left(x-1\right)=\left(2x-y-1\right)\sqrt{y}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(1-y\right)\sqrt{2x-y}+y-1+2x-y-1-\left(2x-y-1\right)\sqrt{y}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-y\right)\left(\sqrt{2x-y}-1\right)+\left(2x-y-1\right)\left(1-\sqrt{y}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{2x-y}-1\right)\left(1+\sqrt{y}\right)+\left(\sqrt{2x-y}-1\right)\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{2x-y}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{2x-y}-1\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{2x-y}+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=2x-1\end{matrix}\right.\) (Vì \(\sqrt{y}+\sqrt{2x-y}+2>0\))
Nếu \(y=1\), khi đó:
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x-5=\sqrt{-x}+\sqrt{-3x+6}\)
Phương trình này vô nghiệm
Nếu \(y=2x-1\), khi đó:
\(\left(1\right)\Leftrightarrow2x^2-5x-1=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\) (Điều kiện: \(2\le x\le4\))
\(\Leftrightarrow2x\left(x-3\right)+x-3+1-\sqrt{x-2}+1-\sqrt{4-x}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(\dfrac{1}{1+\sqrt{4-x}}-\dfrac{1}{1+\sqrt{x-2}}+2x+1\right)=0\)
Ta thấy: \(1+\sqrt{x-2}\ge1\Rightarrow-\dfrac{1}{1+\sqrt{x-2}}\ge-1\Rightarrow1-\dfrac{1}{1+\sqrt{x-2}}\ge0\)
Lại có: \(\dfrac{1}{1+\sqrt{4-x}}>0\); \(2x>0\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{1+\sqrt{4-x}}-\dfrac{1}{1+\sqrt{x-2}}+2x+1>0\)
Nên phương trình \(\left(1\right)\) tương đương \(x-3=0\Leftrightarrow x=3\Rightarrow y=5\)
Ta thấy \(\left(x;y\right)=\left(3;5\right)\) thỏa mãn điều kiện ban đầu.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(3;5\right)\)
3 tháng 10 2015
Xét tam giác ABC vuông tại A có BC = a; AC = b; AB = c và góc B \(=\alpha\) .
Bạn tự vẽ hình nha. CM: Ta có:
\(\frac{1}{\tan^2\alpha}+1=\frac{1}{\frac{b^2}{c^2}}+1=\frac{c^2}{b^2}+1=\frac{c^2+b^2}{b^2}=\frac{a^2}{b^2}\) (định lí Py-ta-go)
\(\frac{1}{\sin^2\alpha}=\frac{1}{\frac{b^2}{a^2}}=\frac{a^2}{b^2}\). Do đó: \(\frac{1}{\sin^2\alpha}=\frac{1}{\tan^2\alpha}+1\)
31 tháng 7 2021
Câu 1:
Ta có: \(\cos\left(90^0-\alpha\right)=\sin\alpha\)
\(\Leftrightarrow\sin\alpha=1:\sqrt{\dfrac{1^2+2^2}{1}}=1:\sqrt{5}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)
Câu 2:
a) \(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}=\dfrac{3}{5}\)
\(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{4}{5}:\dfrac{3}{5}=\dfrac{4}{3}\)
Câu 2 đề sai, phải là tìm \(max\) bạn nhé.
Đặt \(a=\sin x,b=\cos x\) thì \(P\left(x\right)=3a+\sqrt{3}b\) với \(a^2+b^2=1\)
(Tư tưởng Cauchy-Schwarz quá rõ)
Ta có \(\left(a^2+b^2\right)\left(9+3\right)\ge\left(3a+\sqrt{3}b\right)^2=P^2\left(x\right)\)
Suy ra \(P\left(x\right)\le2\sqrt{3}\). Đẳng thức xảy ra tại \(x=60\) độ.
Câu 1 để mình suy nghĩ sau.