Cho M = \(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{1+2}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2+3}+...+\frac{\sqrt{2015}-\sqrt{2014}}{2014+2015}.\)
Hãy so sánh M với 1/2
CHỈ CHO MÌNH CÁCH LÀM VỚI
LÀM ĐÚNG MÌNH TICK CHO.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
19 tháng 10 2016
Ta có:
\(\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2n+1}\)\(=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{4n^2+4n+1}}\)
\(< \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{4n^2+4n}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2\sqrt{n\left(n+1\right)}}\)\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Áp dụng vào bài toán ta có:
\(M< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2015}}\right)\)\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2015}}\right)\)
Ta so sánh từng số hạng :
\(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{1+2}=\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)}{\left(1+2\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)}=\frac{1}{\left(1+2\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)}< \frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2+3}=\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{\left(2+3\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}=\frac{1}{\left(2+3\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}< \frac{1}{2}\)
..........................................................................................................................................................................................
\(\frac{\sqrt{2015}-\sqrt{2014}}{2014+2015}=\frac{\left(\sqrt{2015}-\sqrt{2014}\right)\left(\sqrt{2015}+\sqrt{2014}\right)}{\left(2014+2015\right)\left(\sqrt{2015}+\sqrt{2014}\right)}=\frac{1}{\left(2014+2015\right)\left(\sqrt{2015}+\sqrt{2015}\right)}< \frac{1}{2}\)
Vì mỗi số hạng của M đều nhỏ hơn 1/2 nên M < 1/2
Bài này mình làm chưa đúng nhé :) Để lát mình làm cách khác.