Question

[Nguyễn Tuấn Minh]

Cho a,b là số tự nhiên sao cho \(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}\) là số tự nhiên. Gọi d là ƯCLN(a,b). Chứng minh rằng a+b\(\ge\) d²

Answer 1

[Nguyễn Hưng Phát]

Ta có:\(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}=\frac{a\left(a+1\right)}{ab}+\frac{b\left(b+1\right)}{ab}\)

\(=\frac{a\left(a+1\right)+b\left(b+1\right)}{ab}=\frac{a^2+b^2+a+b}{ab}\) là số tự nhiên nên \(\left(a^2+b^2+a+b\right)\) chia hết cho \(ab\)

Vì \(UCLN\left(a,b\right)=d\Rightarrow\)\(a\) chia hết cho \(d\) ; \(b\) chia hết cho \(d\)

\(\Rightarrow ab\) chia hết cho \(d^2\) và \(a^2\) chia hết cho \(d^2\) ; \(b^2\) chia hết cho \(d^2\)

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2\right)\) chia hết cho \(d^2\)

Do đó:\(a^2+b^2+a+b\) chia hết cho \(d^2\)

        \(a^2+b^2\) chia hết cho \(d^2\)

\(\Rightarrow a+b\) chia hết cho \(d^2\)

\(\Rightarrow a+b\ge d^2\left(đpcm\right)\)

Answer 2

[Bùi Thị Vân]

Bài này có bạn hỏi rồi. Em vào câu hỏi tương tự !