cho ba số nguyên a,b,c biết chúng đôi một nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn (a+b)c=ab. Chứng minh a+b là số chính phương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
18 tháng 6 2016
Không thể có \(\left|c\right|>1\) vì c có ít nhất một ước nguyên tố \(p\ge2\)
Do đó p phải là ước của a hoặc b. Vô lý vì (a;c) = ( b;c) = 1; từ đó suy ra \(c\in\left\{-1;1\right\}\)
*TH1 : \(c=-1\)
\(\Rightarrow-\left(a+b\right)=ab\)
\(\Rightarrow ab-\left[-\left(a+b\right)\right]=0\)
\(\Rightarrow ab+a+b+1=0+1\)
\(\Rightarrow\left(ab+a\right)+\left(b+1\right)=1\)
\(\Rightarrow a\left(b+1\right)+\left(b+1\right)=1\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)=1\)
Do đó suy ra \(a+1=b+1=-1\) ( Chúng không thể bằng 1 vì nếu như vậy a=b=0 )
\(\Rightarrow a=b=-2\)
Do đó (a;b) = 2 \(\ne\)1 ( trái với giả thiết )
*TH2 : \(c=1\)
\(\Rightarrow a+b=ab\)
\(\Rightarrow ab-\left(a+b\right)+1=0+1=1\)
\(\Rightarrow ab-a-b+1=1\)
\(\Rightarrow\left(ab-a\right)-\left(b-1\right)=1\)
\(\Rightarrow a\left(b-1\right)-\left(b-1\right)=1\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)=1\)
\(\Rightarrow a-1=b-1=1\) ( chúng không thể bằng -1 vì như vậy thì a = b = 0 )
\(\Rightarrow a=b=2\)
\(\Rightarrow\left(a;b\right)=2\ne1\) (trái với giả thiết )
Do đó không tồn tại a, b, c thỏa mãn đề bài.
CV
2
27 tháng 11 2016
Từ gt => (a-c)(b-c) = c^2 (*)
Gọi d là ước của a-c và b-c thì từ (*) ta có c^2 chia hết cho d => c chia hết cho d .
Do a-c ; b-c và c chia hết cho d nên a,b,c là bội của d => d=1 vì a.b.c nguyên tố cùng nhau.
Vậy a-c và b-c là số chính phương.
Đặt a-c = k^2, b-c = m^2 ( k,m thuộc N) từ (*) => c^2 = k^2m^2
c= km
Mặt khác a+b= a-c +b-c +2c = k^2 +m^2+2km =(k+m)^2
Vậy a+b là số chính phương.
5 tháng 10 2019
a+b=ab/c là một số nguyên, mà a, b, c nguyên tố cùng nhau từng đôi một=> a+b =ab (vô lí)
27 tháng 5 2021
thật ra nó là lớp 7 đấy nhưng mình nghĩ lớp 8 mới giỏi mói giải đc
27 tháng 5 2021
Giả sử \(a^2+1\) và \(b^2+1\) cùng chia hết cho số nguyên tố p
\(\Rightarrow a^2-b^2⋮p\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)⋮p\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a-b⋮p\\a+b⋮p\end{matrix}\right.\).
+) Nếu \(a-b⋮p\) thì ta có \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)-\left(a-b\right)^2⋮p\Rightarrow\left(ab+1\right)^2⋮p\Rightarrow ab+1⋮p\) (vô lí do (a - b, ab + 1) = 1)
+) Nếu \(a+b⋮p\) thì tương tự ta có \(ab-1⋮p\). (vô lí)
Do đó \(\left(a^2+1,b^2+1\right)=1\).
Giả sử \(\left(a+b\right)^2+\left(ab-1\right)^2=c^2\) với \(c\in\mathbb{N*}\)
Khi đó ta có \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=c^2\).
Mà \(\left(a^2+1,b^2+1\right)=1\) nên theo bổ đề về số chính phương, ta có \(a^2+1\) và \(b^2+1\) là các số chính phương.
Đặt \(a^2+1=d^2(d\in\mathbb{N*})\Rightarrow (d-a)(d+a)=1\Rightarrow d=1;a=0\), vô lí.
Vậy ....
12 tháng 9 2016
Gọi UCLN của a-c và b-c là d
mà a; b; c là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau nên d = 1
Do đó a-c và b-c là hai số chính phương. Đặt a-c = p2; b-c = q2
( p; q là các số nguyên)
c2 = p2q2c = pq a+b = (a- c) + (b – c) + 2c = ( p+ q)2 là số chính phương
tích mik nhé
12 tháng 9 2016
Cho các số nguyên dương a;b;c đôi một nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn: (a+b)c=ab.
Xét tổng M=a+b có phải là số chính phương không ? Vì sao?
\
Gọi UCLN của a-c và b-c là d
mà a; b; c là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau nên d = 1
Do đó a-c và b-c là hai số chính phương. Đặt a-c = p2; b-c = q2
( p; q là các số nguyên)
c2 = p2q2c = pq a+b = (a- c) + (b – c) + 2c = ( p+ q)2 là số chính phương
Trong tập hợp số nguyên không có khái niệm hai số nguyên tố cùng nhau. Trong bài này phải nói trị tuyệt đối của chúng đôi một nguyên tố cùng nhau.