Chứng minh rằng Nếu p và q là 2 số nguyên tố thỏa mãn p^2-q^2=p-3q+1 thì p2+q2 cũng là số nguyên tố
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TP
1
FF
19 tháng 6 2016
p(p-1)=(q-1)(q-2) (*)
=> p | q-1 hoặc p | q-2
do p nguyên tố, (q-1;q-2)=1
1.Nếu p|q-1 thì p <= q-1
Từ (*) suy ra p-1>=q-2
=> p>=q-1
Do đó p=q-1
Mà p,q nguyên tố nên p=2,q=3
Khi đó p^2+q^2=13 là số nguyên tố
2.Xét p|q-2
Từ (*) => q-2 > 0
Lập luận tương tự TH1 dẫn tới mâu thuẫn
NL
0
TQ
0
DO
0
N
1
BM
7 tháng 4 2018
TH1:p<3
+Vì p<3;mà p là số nguyên tố =>p=2.
Với p=2 ta có:p3+2=23+2=8+2=10(là hợp số nên loại)
TH2:p>3
+vì p>3 nên=>p=6k+1 hoặc p=6k+5.
Với p=6k+1 ta có :p3+2=(6k+1)3+2=6k3+1+2=6k3+3:3(là hợp số nên loại)
Với p=6k+5 ta có:p3+2=(6k+5)3+2=6k3+125+2=6k3+127(vì UCLN(6k3;127)=1=>6k3+127 là số nguyên tố nên nhận)
Vậy với p=6k+5 thì p3+2 cũng là số nguyên tố.
21 tháng 4 2020
Ta có p^2-p=q^2-3q+2 <=> p(p-1)=(q-1)(q-2) (*)
Từ (*) suy ra p|(q-1)(q-2). Do p là snt nên p|(q-1) hoặc p|(q-2)
+) Xét p|(q-1). Đặt q=kp+1 (k E N*) thay vào (*):
kp(kp-1)=p(p-1) <=>k(kp-1)=p-1 <=> pk^2 -k-p+1=0.<=>(p-1)[p(k+1)-1]=0
=>k=1 (Do p(k+1)-1>0).
Lúc này q=p+1>=3. Do vậy p=2. q=3 (Do p;q nguyên tố) suy ra p^2+q^2=13 là snt
Xét p|(q-2) đặt q=tp+2 (t E N*) . Thay vào (*) biến đổi tương tự ta được . (t+1)[p(k-1)+1]=0 (vô lý nên loại)
Vậy đpcm
T
25 tháng 9 2020
p2 - q2 = p - 3q + 2
4p2 - 4q2 = 4p - 12q + 8
4p2 - 4p + 1 = 4q2 - 12q + 9
(2p - 1)2 = (2q - 3)2
Mà 2p - 1 >0(p nguyên tố);2q - 3 >0(q nguyên tố)
Do đó 2p - 1 = 2q - 3 <=> p + 1 = q
Ta có q > 3 (vì p > 2) nên q lẻ, do đó p chẵn
=> p = 2. Nên q = p + 1 = 3
Vậy p2 + q2 = 22 + 32 = 4 + 9 = 13 là số nguyên tố
Từ: \(p^2-q^2=p-3q+1\)\(\Rightarrow p^2-p=q^2-3q+1\Rightarrow p\left(p-1\right)=q\left(q-1\right)-2q+1\)(1)
Ta thấy p(p-1) và q(q-1) luôn chẵn; Nên Vế trái của (1) chẵn; Vế phải của 1 luôn lẻ với mọi p; q
Nên không có p; q nguyên nào thỏa mãn điều kiện đề bài.