Question

[Cô Hoàng Huyền]

Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A$ có $AB = 8$, $AC = 15$. Vẽ đường cao $AH$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $B$ qua $H$. Vẽ đường tròn đường kính $CD$, cắt $AC$ ở $E$.

a) Chứng minh rằng $HE$ là tiếp tuyến của đường tròn.

b) Tính độ dài $HE$.

Answer 1

[Nhật Nam]

a) Gọi O là trung điểm của CD.

Do E nằm trên đường tròn (O) nên ^DEC=90o hay DE⊥AC.

Thế thì DE//AB.

Gọi M là trung điểm AE, xét hình thang ABDE có: H là trung điểm BD và M là trung điểm AE nên HM là đường trung bình của hình thang.

Vậy nên HM//AB//DE hay HM⊥AE.

Suy ra tam giác HAE cân tại H hay ^HEA=^HAE.

Tam giác OEC cân tại O nên ^OEC=^OCE.

Từ đó ta có: ^HEA+^OEC=^HAE+^OCE=90o.

Suy ra ^OEH=180o−90o=90o.
Vậy nên $HE$ là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pi-ta-go, ta có:

BC=√AB2+AC2=17(cm)

Do tam giác HAE cân tại H nên:

HE = AH = (AB*AC)/BC=120/17

Answer 2

[Phương Vy]

a) Gọi O là trung điểm của CD.

Do E nằm trên đường tròn (O) nên $\widehat{DEC}=90^o$ hay $DE\perp AC$.

Thế thì DE//AB.

Gọi M là trung điểm AE, xét hình thang ABDE có: H là trung điểm BD và M là trung điểm AE nên HM là đường trung bình của hình thang.

Vậy nên HM//AB//DE hay $HM\perp AE.$

Suy ra tam giác HAE cân tại H hay $\widehat{HEA}=\widehat{HAE}$.

Tam giác OEC cân tại O nên $\widehat{OEC}=\widehat{OCE}$.

Từ đó ta có: $\widehat{HEA}+\widehat{OEC}=\widehat{HAE}+\widehat{OCE}=90^o.$

Suy ra $\widehat{OEH}=180^o-90^o=90^o.$
Vậy nên $HE$ là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pi-ta-go, ta có:

$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=17\left(cm\right)$

Do tam giác HAE cân tại H nên:

HE = AH = $\genfrac{}{}{0ex}{}{AB.AC}{BC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{120}{17}.$