cho n là số tự nhiên,chứng minh:
a,5^2n+1 +2^n+4 +2^n+1 chia hết cho 23
b,2^2n+2 +24n +14 chia hết cho 18
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 2 2021
Lời giải:
a)
\(5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1}=5.25^n+16.2^n+2.2^n\)
\(\equiv 5.2^n+16.2^n+2.2^n\pmod {23}\)
\(\equiv 23.2^n\equiv 0\pmod {23}\)
Ta có đpcm.
b)
\(2^{2n+2}+24n+14\) hiển nhiên chia hết cho $2(1)$
Mặt khác:
Nếu $n=3k+1$:
$2^{2n+2}+24n+14=2^{6k+4}+72k+38$
$=16.2^{6k}+72k+38\equiv 16+72k+38=54+72k\equiv 0\pmod 9$
Nếu $n=3k$:
$2^{2n+2}+24n+14=2^{6k+2}+72k+14=4.2^{6k}+72k+14$
$\equiv 4+72k+14=18+72k\equiv 0\pmod 9$
Nếu $n=3k+2$:
$2^{2n+2}+24n+14=2^{6k+6}+72k+62\equiv 1+72k+62$
$\equiv 63+72k\equiv 0\pmod 9$
Vậy tóm lại $2^{2n+2}+24n+14$ chia hết cho $9$ (2)
Từ $(1);(2)\Rightarrow 2^{2n+2}+24n+14\vdots 18$ (đpcm)
NT
0
VA
2
9 tháng 9 2020
Bài này khó quá mình không giải trực tiếp được, thoi đi quy nạp nha:
Với \(n=0\Rightarrow2^{2n+2}+24n+14=18⋮18\)
Với \(n=1\Rightarrow2^{2n+2}+24n+14=54⋮18\)
+) Giả sử giả thiết đúng tới \(n=k,k\inℕ,n>k>2\Rightarrow2^{2k+2}+24k+14⋮18\)
+) Cần chứng minh giả thiết đúng với \(n=k+1:\)
Xét \(2^{2\left(k+1\right)+2}+24\left(k+1\right)+14⋮18\)
\(\Leftrightarrow2^{2+\left(2k+2\right)}+24k+24+14⋮18\)
\(\Leftrightarrow2^2.2^{2k+2}+24k+14+24⋮18\)
\(\Leftrightarrow\left(2^{2k+2}+24k+14\right)+3.2^{2k+2}+24⋮18\)(1)
Vì \(\left(2^{2k+2}+24k+14\right)⋮18\)nên (1)\(\Leftrightarrow3.2^{2k+2}+24⋮18\)(2)
Vì \(3.2^{2k+2}+24⋮6\)nên (2)\(\Leftrightarrow2^{2k+1}+4⋮3\)
Xét \(2^{2k+1}=\left(3-1\right)^{2k+1}\)Vì (2k+1) là số lẻ nên\(\left(3-1\right)^{2k+1}\)có dạng 3A-1 (tức là chia 3 dư 2 đấy !)
(Điều này có thể được chứng minh bằng cách xét số dư khi chia lũy thừa của 2 cho 3, còn để chứng minh chặt chẽ thì đợi lên lớp 11 học nhị thức Newton nha !!)
Vậy (2)\(\Leftrightarrow3A-1+4⋮3\Leftrightarrow3A+3⋮3\)--->đúng \(\forall k,n>k>2\)
Vậy giả thiết đúng \(\forall n\inℕ\)
9 tháng 9 2020
Chứng minh quy nạp giống bạn Ngọc
.Giả thiêt đúng với n = 0
G/s giả thiết đúng với n
Cần chứng minh giả thiết đúng với n+1
Ta có: \(2^{2\left(n+1\right)+2}+24\left(n+1\right)+14\)
\(=2^{2n+2}.4+24n+24+14\)
\(=\left(2^{2n+2}+24n+14\right)+\left(3.2^{2n+2}+24\right)\)
Vì \(2^{2n+2}+8\equiv\left(-1\right)^{2n+2}+8\equiv9\equiv0\left(mod9\right)\)
\(\Rightarrow3.2^{2n+2}+24⋮9\) và dĩ nhiên là \(3.2^{2n+2}+24⋮2\) mà ( 2; 9) = 1
\(\Rightarrow3.2^{2n+2}+24⋮18\)
Theo điều G/s \(\left(2^{2n+2}+24n+14\right)⋮18\)
=> \(\left(2^{2n+2}+24n+14\right)+\left(3.2^{2n+2}+24\right)⋮18\)
=> \(2^{2\left(n+1\right)+2}+24\left(n+1\right)+14⋮18\)
=> giả thiết đúng với n + 1
Vậy giả thiết đúng với mọi n
7 tháng 8 2021
Bài 1:
b) Ta có: \(\left(2n-3\right)\left(2n+3\right)-4n\left(n-9\right)\)
\(=4n^2-9-4n^2+36n\)
\(=36n-9⋮9\)
a) Ta có:
(5^2n+1) + (2^n+4) + (2^n+1) = (25^n).5 - 5.(2^n) + (2^n).( 5 + 2^4 +2) = 5.( 25^n - 2^n ) + 23.2^n chia hết cho 23.