Cho hai số thực a,b thỏa mãn điều kiện a 2 b 2

PT

Pham Trong Bach

24 tháng 9 2017

Cho hai số thực a,b thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 > 1 và log a 2 + b 2 a + b ≥ 1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2a + 4b – 3 là A. 2 10 B. 10 C. 10 2 D. 1 10 ...

Đọc tiếp

#Mẫu giáo

1

CM

Cao Minh Tâm

24 tháng 9 2017

Đáp án B

Đúng(0)

VN

VUX NA

4 tháng 9 2021

Cho a,b là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện \(a+b^2=2ab^2\) . Chứng minh rằng

\(\dfrac{1}{a^4+b^4+2ab^4}+\dfrac{1}{a^2+b^8+2a^2b^2}\) ≥ \(\dfrac{1}{2}\)

#Toán lớp 9

1

HP

Hồng Phúc

5 tháng 9 2021

Dấu BĐT bị ngược, sửa đề: \(\dfrac{1}{a^4+b^4+2ab^4}+\dfrac{1}{a^2+b^4+2a^2b^2}\le\dfrac{1}{2}\).

Đặt \(b^2=x\left(x>0\right)\Rightarrow a+x=2ax\).

Khi đó ta cần chứng minh:

\(\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\le\dfrac{1}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\)

\(\le\dfrac{1}{2a^2x+2ax^2}+\dfrac{1}{2ax^2+2a^2x}\)

\(=\dfrac{2}{2ax\left(a+x\right)}\)

\(=\dfrac{1}{ax\left(a+x\right)}\)

\(=\dfrac{1}{2a^2x^2}\)

Ta thấy: \(a+x\ge2\sqrt{ax}\)

\(\Leftrightarrow2ax\ge2\sqrt{ax}\)

\(\Leftrightarrow ax-\sqrt{ax}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{ax}\left(\sqrt{ax}-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{ax}\ge1\)

\(\Rightarrow ax\ge1\)

Khi đó: \(\dfrac{1}{2a^2x^2}\le\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\le\dfrac{1}{2}\)

Hay \(\dfrac{1}{a^4+b^4+2ab^4}+\dfrac{1}{a^2+b^4+2a^2b^2}\le\dfrac{1}{2}\).

Đúng(2)

PT

Pham Trong Bach

18 tháng 1 2018

Cho a,b là các số thực thỏa mãn log 2 . log 2 a - log b = 2 . Hỏi a,b thỏa mãn hệ thức nào dưới đây?

A. a = 100b

B. a = 100 - b

C. a = =100 + b

D. a = 100 b

#Mẫu giáo

1

CM

Cao Minh Tâm

18 tháng 1 2018

Đúng(0)

KH

Khánh Huyền

7 tháng 6 2021

a, Chứng minh bất đẳng thức a²+b²+2 ≥ 2(a+b)

b,Cho hai số thực x,y thỏa mãn điều kiện: x^2+y^2 = 1. Tìm GTLN và GTNN của x+y

c, Cho a,b > 0 và a+b = 1. Tìm GTNN của S=\(\dfrac{1}{ab}\)+1/a²+b²

#Toán lớp 8

1

LT

Lê Thị Thục Hiền

7 tháng 6 2021

a)Có \(a^2+1\ge2a\) với mọi a; \(b^2+1\ge2b\) với mọi b

Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\)

Dấu = xảy ra <=> a=b=1

b) Áp dụng BĐT bunhiacopxki có:

\(\left(x+y\right)^2\le\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)_{max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\left(x+y\right)_{min}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

c) \(S=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)

Với x,y>0, ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) (1)

Thật vậy (1) \(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (lđ)

Áp dụng (1) vào S ta được:

\(S\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)

Lại có: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\) \(\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{2ab}\ge2\)

\(\Rightarrow S\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+2=6\)

\(\Rightarrow S_{min}=6\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

Đúng(3)

LT

Lê Trần Khánh Duy

25 tháng 6 2021 - olm

cho các số thực a,b,c khác nhau từng đôi một và thỏa mãn điều kiện: a^2-b=b^2-c=c^2-a. CMR: (a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)=-1

#Toán lớp 9

1

NM

Nguyễn Minh Đăng

25 tháng 6 2021

Ta có: \(a^2-b=b^2-c\Leftrightarrow a^2-b^2=b-c\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=b-c\Rightarrow a+b=\frac{b-c}{a-b}\)

Tương tự CM được: \(b+c=\frac{c-a}{b-c}\) và \(c+a=\frac{a-b}{c-a}\)

Khi đó:

\(\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)\)

\(=\left(\frac{a-b}{c-a}+1\right)\left(\frac{c-a}{b-c}+1\right)\left(\frac{b-c}{a-b}+1\right)\)

\(=\frac{c-b}{c-a}\cdot\frac{b-a}{b-c}\cdot\frac{a-c}{a-b}=-1\)

Đúng(0)

LT

Lê Trần Khánh Duy

25 tháng 6 2021 - olm

cho các số thực a,b,c khác nhau từng đôi một và thỏa mãn điều kiện: a^2-b=b^2-c=c^2-a. CMR: (a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)=-1

#Toán lớp 9

1

XO

Xyz OLM

25 tháng 6 2021

Vì a² - b = b² - c = c² - a

Ta có a² - b = b² - c

=> (a - b)(a + b) = b - c

=> a + b + 1 = \(\frac{a-c}{a-b}\)

Tương tự ta có : b + c + 1 = \(\frac{b-a}{b-c}\)

a + c + 1 =\(\frac{b-c}{a-c}\)

Khi đó (a + b + 1)(b + c + 1)(a + c + 1) = \(\frac{a-c}{a-b}.\frac{b-a}{b-c}.\frac{b-c}{a-c}=-1\)(đpcm)

Đúng(0)

LT

Lê Trần Khánh Duy

25 tháng 6 2021 - olm

cho các số thực a,b,c khác nhau từng đôi một và thỏa mãn điều kiện: a^2-b=b^2-c=c^2-a. CMR: (a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)=-1

#Toán lớp 8

1

NC

Ngô Chi Lan

25 tháng 6 2021

Ta có:\(a^2-b=b^2-c\)

\(\Leftrightarrow a^2-b^2=b-c\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=b-c\)

\(\Leftrightarrow a+b=\frac{b-c}{a-b}\)

\(\Leftrightarrow a+b+1=\frac{b-c}{a-b}+1\)

\(\Leftrightarrow a+b+1=\frac{a-c}{a-b}\)

Cmtt ta có:

\(\hept{\begin{cases}b^2-c=c^2-a\Leftrightarrow b+c+1=\frac{b-a}{b-c}\\c^2-a=a^2-b\Leftrightarrow c+a+1=\frac{c-b}{c-a}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)=\frac{a-c}{a-b}.\frac{b-c}{b-a}.\frac{c-b}{c-a}=-1\)

Cre:mạng

Đúng(0)

VN

VUX NA

5 tháng 8 2021

Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện abc = 1

Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{2+a}\)+\(\dfrac{1}{2+b}\)+\(\dfrac{1}{2+c}\)≤ 1

#Toán lớp 9

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

5 tháng 8 2021

\(abc=1\) nên tồn tại các số dương x;y;z sao cho \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\)

BĐT cần chứng minh tương đương:

\(\dfrac{y}{x+2y}+\dfrac{z}{y+2z}+\dfrac{x}{z+2x}\le1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2y}{x+2y}-1+\dfrac{2z}{y+2z}-1+\dfrac{2x}{z+2x}-1\le2-3\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{x+2y}+\dfrac{y}{y+2z}+\dfrac{z}{z+2x}\ge1\)

Điều này đúng do:

\(VT=\dfrac{x^2}{x^2+2xy}+\dfrac{y^2}{y^2+2yz}+\dfrac{z^2}{z^2+2xz}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=1\)

Đúng(1)

VN

VUX NA

5 tháng 8 2021

e cảm ơn ạ

Đúng(0)

JJ

Jungkook Jeon

7 tháng 5 2022

Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn log 2 a + log 2 b = 0.

#Toán lớp 12

0

MG

Melanie Granger

20 tháng 5 2022

Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện: \(a+b< =1\). Tìm GTNN của biểu thức: \(P=\dfrac{b^2}{a^2b^2+b^2+1}+\dfrac{b}{2a}\)

#Toán lớp 10

0

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP