Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{a^2+b^2+ab}}\)\(=\dfrac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(a^2+b^2+ab\right)\left(ab+c^2+c^2\right)}}\)\(\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+2ab+2c^2}\)\(\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{2\left(a^2+b^2\right)+2c^2}\)\(=\dfrac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\ge ab+2c^2\)
Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}\ge bc+2a^2\); \(\sqrt{\dfrac{ac+2b^2}{1+ac-b^2}}\ge ac+2b^2\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT\ge2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ac=2+ab+bc+ac\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
a) Ta có: \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(b+a+c\right)\right]\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
b) Ta có: \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow2abc\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Rightarrow2a^2bc+2ab^2c+2abc^2=0\)
Ta lại có:
\(a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)^2\)(chứng minh câu a)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+4a^2bc+4ab^2c+4abc^2\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ca\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2a^2+bc}\le\left(a+b+c\right)^2\)
Ta có: \(\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2a^2+bc}\le\frac{\left(ab+ca\right)^2}{2a^2}+\frac{\left(bc\right)^2}{bc}=\frac{\left(b+c\right)^2}{2}+bc\)
Tương tự rồi cộng lại ta thu được:
\(L.H.S\le\frac{\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2}{2}+ab+bc+ca\)
\(=\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(ab+bc+ca\right)}{2}+ab+bc+ca\)\(=\left(a+b+c\right)^2\)
P/s: Nhìn đơn giản chứ nó là bao nhiêu ngày suy nghĩ đấy ạ:( Chả biết đúng hay sai nữa:v
\(P=\dfrac{a^2}{ab+\dfrac{1}{b}}+\dfrac{b^2}{bc+\dfrac{1}{c}}+\dfrac{c^2}{ca+\dfrac{1}{a}}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}\)
\(P\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{ab+bc+ca+\dfrac{ab+bc+ca}{abc}}=\dfrac{3}{1+\dfrac{1}{abc}}=\dfrac{3abc}{1+abc}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Với a, b, c > 0 có:
\(P=\dfrac{a}{b+2c}+\dfrac{b}{c+2a}+\dfrac{c}{a+2b}\\ =\dfrac{a^2}{a\left(b+2c\right)}+\dfrac{b^2}{b\left(c+2a\right)}+\dfrac{c^2}{c\left(a+2b\right)}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(1+\alpha\right)\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{\left(1+\alpha\right)\left(ab+bc+ca\right)}\)
chọn \(\alpha=\dfrac{1}{abc}\Rightarrow dpcm\)
\(\sqrt{\dfrac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\dfrac{c+a}{b+ac}}\)
Bài này có xuất hiện rồi ,you vào mục tìm kiếm là thấy liền.
Lời giải vắn tắt:
\(A=\sum\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\sum\dfrac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(ab+2c^2\right)\left(1+ab-c^2\right)}}\ge\sum\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{1+2ab+c^2}=\sum\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{\left(a+b\right)^2+2c^2}\ge\sum\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{2\left(a^2+b^2\right)+2c^2}=\sum\left(ab+2c^2\right)=ab+bc+ca+2\)
( thay \(a^2+b^2+c^2=1\))
VT=\(\frac{a^2}{ab+\frac{1}{b}}+\frac{b^2}{bc+\frac{1}{c}}+\frac{c^2}{ca+\frac{1}{a}}\)
áp dụng bđt cộng mẫu đc VT \(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca+\frac{ab+bc+ca}{abc}}\left(1\right)\)
Ta có \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\forall a,b,c\)
Nên \(\left(1\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3abc}}=\frac{1}{\frac{1}{3}+\frac{1}{3abc}}=\frac{3abc}{1+abc}\left(đccm\right)\)
dấu bằng xảy ra <> a=b=c
1 \(\left(ab+bc+ca\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)(Vì a+b+c=0)
b)\(a+b+c=0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left(ab+bc+ca\right)^2\)
Theo câu a) \(\left(ab+bc+ca\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\) nên ta suy ra được điều cần phải chứng minh là \(a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ca\right)^2\)
2.
a) \(A=\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\)
\(\Leftrightarrow A=1\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\)
\(A=\left(2-1\right)\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\)
Sử dụng hằng đẳng thức \(\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2\)ta được
\(A=\left(2^2-1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\)
\(...\)
\(A=2^{32}-1\left(ĐPCM\right)\)
b) Ta có
\(\left(100^2-101^2\right)+\left(103^2-98^2\right)+\left(105^2-96^2\right)+\left(94^2-107^2\right)\)
=\(201\left(-1+5+9-13\right)=0\)
Suy ra ĐPCM
3
a) Phân tích hết ra rồi chuyển vế làm như bài toán tìm x thông thường
b) Sử dụng bất đẳng thức a^2-b^2= (a-b)(a+b)
c) Sử dụng bất đẳng thức (a-b)(a+b)=a^2-b^2 do ta dễ thấy các biểu thức liên hợp
Không hiểu chỗ nào thì có thể nhắn tin sang để mk giải thích