Cho a,b,c>0 và a+b+c=3
Tìm GTNN A= a2/b+c + b2/c+a + c2/a+b
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NC
17 tháng 8 2020
a) Áp dụng Cauchy Schwars ta có:
\(M=\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 1
NC
17 tháng 8 2020
b) \(N=\frac{1}{a}+\frac{4}{b+1}+\frac{9}{c+2}\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{36}{6}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi: x=y=1
TV
1
23 tháng 12 2020
Ta có: a+b+c=0
nên a+b=-c
Ta có: \(a^2-b^2-c^2\)
\(=a^2-\left(b^2+c^2\right)\)
\(=a^2-\left[\left(b+c\right)^2-2bc\right]\)
\(=a^2-\left(b+c\right)^2+2bc\)
\(=\left(a-b-c\right)\left(a+b+c\right)+2bc\)
\(=2bc\)
Ta có: \(b^2-c^2-a^2\)
\(=b^2-\left(c^2+a^2\right)\)
\(=b^2-\left[\left(c+a\right)^2-2ca\right]\)
\(=b^2-\left(c+a\right)^2+2ca\)
\(=\left(b-c-a\right)\left(b+c+a\right)+2ca\)
\(=2ac\)
Ta có: \(c^2-a^2-b^2\)
\(=c^2-\left(a^2+b^2\right)\)
\(=c^2-\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]\)
\(=c^2-\left(a+b\right)^2+2ab\)
\(=\left(c-a-b\right)\left(c+a+b\right)+2ab\)
\(=2ab\)
Ta có: \(M=\dfrac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\dfrac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\dfrac{c^2}{c^2-a^2-b^2}\)
\(=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ac}+\dfrac{c^2}{2ab}\)
\(=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\)
Ta có: \(a^3+b^3+c^3\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ca-cb+c^2\right)-3ab\left(a+b\right)\)
\(=-3ab\left(a+b\right)\)
Thay \(a^3+b^3+c^3=-3ab\left(a+b\right)\) vào biểu thức \(=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\), ta được:
\(M=\dfrac{-3ab\left(a+b\right)}{2abc}=\dfrac{-3\left(a+b\right)}{2c}\)
\(=\dfrac{-3\cdot\left(-c\right)}{2c}=\dfrac{3c}{2c}=\dfrac{3}{2}\)
Vậy: \(M=\dfrac{3}{2}\)
HN
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 1 2022
\(P=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{ab+bc+ca}{ab+bc+ca}=1\)
\(P_{min}=1\) khi \(a=b=c=1\)
\(P=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{ab+bc+ca}-2\)
Do \(a;b\ge1\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow ab\ge a+b-1=2-c\)
\(\Rightarrow ab+c\left(a+b\right)\ge2-c+c\left(3-c\right)=-c^2+2c+2=c\left(2-c\right)+2\ge2\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{9}{2}-2=\dfrac{5}{2}\)
\(P_{max}=\dfrac{5}{2}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;2;0\right);\left(2;1;0\right)\)
3 tháng 4 2022
\(a,\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{b}\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{c^2}=\dfrac{c^2}{b^2}=\dfrac{a^2+c^2}{b^2+c^2}\left(1\right)\)
Mà \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{b}\Leftrightarrow ab=c^2\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{c^2}{b^2}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\tođpcm\)
\(b,\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{b}\Leftrightarrow ab=c^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b^2-a^2}{a^2+c^2}=\dfrac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}{a^2+ab}=\dfrac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}{a\left(a+b\right)}=\dfrac{b-a}{a}\left(đpcm\right)\)
QT
2
27 tháng 3 2020
Câu hỏi của Hattory Heiji - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
NA
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 8 2021
Đặt \(P=\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\)
Ta có: \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}=a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+b^2+ab}\ge a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^3b^3}}=a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}\)
Tương tự: \(\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}\ge\dfrac{2b-c}{3}\) ; \(\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\ge\dfrac{2c-a}{3}\)
Cộng vế:
\(P\ge\dfrac{a+b+c}{3}=673\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=673\)
O
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 12 2020
\(\left(a+2\right)\left(a-3\right)\le0\)\(\Leftrightarrow a^2-6\le a\)
Tương tự: \(b^2-6\le b\) ; \(c^2-6\le c\)
Cộng vế với vế:
\(M\ge a^2+b^2+c^2-18=4\)
Dấu '=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(3;3-2\right)\) và hoán vị
11 tháng 6 2023
\(\)Ta có: \(a+b+c=0 \Rightarrow b+c=-a \Rightarrow (b+c)^2=(-a)^2 \Leftrightarrow b^2+c^2+2bc=a^2 \Leftrightarrow a^2-b^2-c^2=2bc\)
Tương tự: \(b^2-c^2-a^2=2ca;c^2-a^2-b^2=2ab\)
\(P=...=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ca}+\dfrac{c^2}{2bc}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\)
----
Bổ đề \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\)
Ở đây ta c/m chiều thuận:
Với \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a+b=-c \Rightarrow (a+b)^3=(-c)^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc(QED)\)
Vì \(a,b,c>0\) nên theo BĐT Svacxo ta có :
\(A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2.\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy \(A_{min}=\frac{3}{2}\)khi \(a=b=c=1\)