Question

[JakiNatsumi]

chứng minh rằng tổng lập phương các số tự nhiên liên tiếp từ 1 là một số chính phương : 1+3+5+...+ n mũ 3 =(1+2+...+ n) mũ 2

Answer 1

[Trí Tiên亗]

Đề bài : Chứng minh rằng tổng lập phương của các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n bằng bình phương của tổng từ 1 đến n ( n tự nhiên ). Hay ta cần chứng minh : \(1^3+2^3+3^3+4^3+....+n^3=\left(1+2+....+n\right)^2\) (*)

Lời giải : 

+) Xét \(n=1\) thì ta có : \(1^3=1^2\) ( đúng ) 

Suy ra (*) đúng với \(n=1\) (1)

+) Xét \(n=2\) ta có : \(1^3+2^3=1+8=9\); \(\left(1+2\right)^2=3^2=9\)

\(\Rightarrow1^3+2^3=\left(1+2\right)^2\) ( đúng ). Nên (*) đúng với \(n=2\) (2)

+) Giả sử (*) đúng với \(n=k\). Tức là : \(1^3+2^3+3^3+....+k^3=\left(1+2+...+k\right)^2\).

Ta cần chứng minh \(n=k+1\) cũng đúng với (*). Thật vậy , ta có :

\(1^3+2^3+3^3+.....+\left(k+1\right)^3\)

\(=1^3+2^3+....+k^3+\left(k+1\right)^3\)

\(=\left(1+2+3+....+k\right)^2+\left(k+1\right)^3\)

Xét biểu thức \(\left(k+1\right)^2+2.\left(k+1\right).\left(1+2+3+....+k\right)\)

\(=\left(k+1\right)^2+2.\left(k+1\right)\cdot\frac{\left(k+1\right).k}{2}\)

\(=\left(k+1\right)^2+\left(k+1\right)^2.k=\left(k+1\right)^3\)

Do đó \(1^3+2^3+....+\left(k+1\right)^3\)

\(=\left(1+2+3+....+k\right)^2+2.\left(k+1\right)\left(1+2+....+k\right)+\left(k+1\right)^2\)

\(=\left(1+2+3+....+k+k+1\right)^2\)

Vậy (*) đúng với \(n=k+1\) (3)

Từ (1) (2) và (3) suy ra \(1^3+2^3+3^3+4^3+....+n^3=\left(1+2+....+n\right)^2\) với mọi \(n\in N\).