\(M=\sqrt{2019a^2-4026ab+2019b^2}+\sqrt{2020b^2-4028bc+2020b^2}+\sqrt{2021a^2-4030ac+2021c^2}\)
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge3;a,b,c\ge0\)
GTNN
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
5 tháng 11 2019
\(\sqrt{2020a+\frac{\left(b-c\right)^2}{2}}\le\sqrt{2020a+\frac{\left(b+c\right)^2}{2}}=\sqrt{2020a+\frac{\left(1010-a\right)^2}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{2}\left(a^2+2020a+1010^2\right)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a+1010\right)\)
=> \(VT\le\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a+b+c+3.1010\right)=2020\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=1010;b=0;c=0 và các hoán vị
15 tháng 7 2020
\(\sum\frac{a}{a+\sqrt{2021a+bc}}=\sum\frac{a}{a+\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}}=\sum\frac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le_{C-S}\sum\frac{a}{a+\sqrt{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\right)^2}}=\sum\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}=\sum\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\)
HP
1 tháng 1 2021
\(x=0\) không là nghiệm của phương trình
Chia hai vế phương trình cho x, phương trình trở thành:
\(\left(x+\dfrac{4}{x}\right)+2-m=4\sqrt{x+\dfrac{4}{x}}\left(1\right)\)
Đặt \(x+\dfrac{4}{x}=t\left(t\ge2\right)\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow m=f\left(t\right)=t^2-4t+2\left(2\right)\)
Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình \(\left(2\right)\) có nghiệm \(t\ge2\)
\(\Leftrightarrow m\ge f\left(2\right)=-2\)
\(\Rightarrow\) có 2021 giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán
8 tháng 10 2021
\(M=\sqrt{a^2+2ab+b^2+b^2}+\sqrt{b^2+2bc+c^2+c^2}+\sqrt{c^2+2ca+a^2+a^2}\)
\(M=\sqrt{\left(a+b\right)^2+b^2}+\sqrt{\left(b^{ }+c\right)^2+c^2}+\sqrt{\left(c+a\right)^2+a^2}\)
\(M\ge\sqrt{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}\ge\sqrt{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^2+3^2}\ge\sqrt{6^2+3^2}\ge3\sqrt{5}\)
\(dấu\)\("="xảy\) \(ra\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 10 2021
Cách khác:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$5(a^2+2ab+2b^2)=[(a+b)^2+b^2](2^2+1^2)\geq [2(a+b)+b]^2$
$\Rightarrow \sqrt{5(a^2+2ab+b^2)}\geq 2a+3b$
Tương tự với các căn thức còn lại và cộng theo vế:
$M\sqrt{5}\geq 5(a+b+c)$
$\Leftrightarrow M\geq \sqrt{5}(a+b+c)=3\sqrt{5}$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
19 tháng 5 2018
Mong mọi người giúp mình với, lâu không dùng bất đẳng thức nên quên. Cám ơn mọi người nhiều!
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 6 2020
\(\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\right)^2}=\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+\sqrt{2020a+bc}}\le\frac{a}{a+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
Tương tự: \(\frac{b}{b+\sqrt{2020b+ca}}\le\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\) ; \(\frac{c}{c+\sqrt{2020c+ab}}\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
Cộng vế với vế: \(P\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=...\)
\(=\sqrt{3\left(a+b\right)^2+2016\left(a-b\right)^2}+\sqrt{3\left(b+c\right)^2+2017\left(b-c\right)^2}+\sqrt{3\left(c+a\right)^2+2018\left(c-a\right)^2}\)
\(\ge2\sqrt{3}\left(a+b+c\right)\ge\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\ge6\sqrt{3}\)