Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn :\(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{z+1}=1\)
CMR Trong 3 số x,y,z có ít nhất một số ko nhỏ hơn 2 và một số ko lớn hơn 2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 2 2020
Ta giả sử 3 số đều =2
=>\(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\)(Đúng)
=>đpcm
P/s : nhanh gọn lẹ :))
10 tháng 3 2020
Đặt \(A=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\)
Không mất tính tổng quát giả sử:
\(\frac{1}{x+1}< \frac{1}{y+1}< \frac{1}{z+1}\)
Ta có
+) \(A>\frac{3}{1+x}\Leftrightarrow1>\frac{3}{1+x}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}>\frac{1}{x+1}\Leftrightarrow x+1>3\)
<=> x>2(1)
+) \(A< \frac{3}{1+z}\Leftrightarrow1< \frac{3}{1+z}\Leftrightarrow\frac{1}{3}< \frac{1}{1+z}\Leftrightarrow1+z< 3\Leftrightarrow x< 2\)(2)
Từ (1) (2) => ĐPCM
18 tháng 4 2020
Từ gt, ta có \(\left(xyz\right)^2=\left[x\left(1-x\right)\right]\left[y\left(1-y\right)\right]\left[z\left(1-z\right)\right]\)
Sử dụng BĐT AM-GM dạng \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\), ta có:
\(x\left(1-x\right)\le\frac{1}{4};y\left(1-y\right)\le\frac{1}{4};z\left(1-z\right)\le\frac{1}{4}\)
Nhân các bđt trên lại theo vế =. \(\left(xyz\right)^2\le\frac{1}{64}\)hay \(xyz\le\frac{1}{8}\)
Gọi A là số lớn nhất trong các số x(1-y);y(1-z); z(1-y)
khi đó từ gt, ta có:
\(3A\ge x\left(1-y\right)+y\left(1-z\right)+z\left(1-x\right)\)
\(=1-xyz-\left(1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz\right)\)
\(=1-xyz-\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)
\(=1-2xyz\ge\frac{3}{4}\)
từ các đánh giá trên => \(A\ge\frac{1}{4}\)
=> đpcm
1 tháng 5 2020
Bài 1:
Đặt a=x-1; b=y-1; c=z-1. Khi đó a;b;c\(\in\)[-1;1], a+b+c=0 và
\(P=\left(a+1\right)^3+\left(b+1\right)^3+\left(c+1\right)^3-3abc\)
\(=a^3+b^3+c^3-3abc+3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\left(a+b+c\right)+3\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\left(a+b+c\right)+3\)
\(=3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\)
Ta có: \(0\le a^2+b^2+c^2\le2\)
Từ đây ta dễ thấy Min P=3 đạt được khi x=y=z=1
1 tháng 5 2020
Ta xét tống T của 3 số x(1-y);y(1-x);z(1-x)
Ta có T=x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=x+y+z-xy-xz-yz
Theo giả thiết xyz=(1-x)(1-y)(1-z)=1-(x+y+z-xy-xz-yz)-xyz
=> 2xyz=1-T => T=1-2xyz
Nhưng x2y2z2 =[x(1-x)][y(1-y)][z(1-z)]\(\le\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{64}\)
=> xyz\(\le\)\(\frac{1}{8}\Rightarrow2xy\le\frac{1}{4}\)
Vậy \(T\ge1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
Vậy \(T\ge\frac{3}{4}\)nên trong 3 số x(1-x), y(1-y), z(1-z) có ít nhất một trong 3 số đó \(\ge\frac{1}{4}\left(đpcm\right)\)
10 tháng 11 2016
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow\frac{1}{x}=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{z}\right)\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\left(\frac{y-2}{y}+\frac{z-2}{z}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có \(\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\left(\frac{y-2}{y}+\frac{z-2}{z}\right)\ge\sqrt{\frac{\left(y-2\right)\left(z-2\right)}{yz}}\)
Tương tự : \(\frac{1}{y}\ge\sqrt{\frac{\left(x-2\right)\left(z-2\right)}{xz}}\) ; \(\frac{1}{z}\ge\sqrt{\frac{\left(x-2\right)\left(y-2\right)}{xy}}\)
Nhân theo vế được : \(\frac{1}{xyz}\ge\frac{\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(z-2\right)}{xyz}\Rightarrow\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(z-2\right)\le1\)
BẠN XEM BÀI NÀY, BÀI TRÊN MÌNH VIẾT THỪA DÒNG CUỐI.
10 tháng 11 2016
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow\frac{1}{x}=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{z}\right)\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\left(\frac{y-2}{y}+\frac{z-2}{z}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có \(\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\left(\frac{y-2}{y}+\frac{z-2}{z}\right)\ge\sqrt{\frac{\left(y-2\right)\left(z-2\right)}{yz}}\)
Tương tự : \(\frac{1}{y}\ge\sqrt{\frac{\left(x-2\right)\left(z-2\right)}{xz}}\) ; \(\frac{1}{z}\ge\sqrt{\frac{\left(x-2\right)\left(y-2\right)}{xy}}\)
Nhân theo vế được : \(\frac{1}{xyz}\ge\frac{\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(z-2\right)}{xyz}\Rightarrow\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(z-2\right)\le1\)
\(\frac{1}{xyz}\)
\(\text{Giả sử không có số nào nhỏ hơn 2}\Rightarrow\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\left(\text{vẫn đúng }\right)\)