Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn abc>=1.cmr:
(a^5-a^2)/(a^5+b^2+c^2) +(b^5-b^2)/ (b^5+c^2+a^2) +(c^5-c^2)/(c^5+a^2+b^2)>=0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NN
Nguyễn Ngọc Anh Minh
CTVHS
VIP
6 tháng 5 2022
Ta có
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)=a^5+a^2b^3+a^2c^3+a^3b^2+b^5+b^2c^3+a^3c^2+b^3c^2+c^5\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)-a^2b^2\left(a+b\right)-b^2c^2\left(b+c\right)-a^2c^2\left(a+c\right)\)
Do a+b+c=0
=> a+b=-c; b+c=-a; a+c=-b
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)+a^2b^2c+ab^2c^2+a^2bc^2=\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)+abc\left(ab+bc+ac\right)=\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left[\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3\right]+abc\left(ab+bc+ac\right)=\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right).\left[\left(-c^3\right)-3ab.\left(-c\right)+c^3\right]+abc\left(ab+bc+ac\right)=\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right).3abc+abc\left(ab+bc+ab\right)=\)
\(=abc.\left[3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac\right]=\)
\(=abc\left[\dfrac{5}{2}.\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}{2}\right]=\)
\(=abc.\left[\dfrac{5}{2}.\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2}\right]=\)
\(=abc.\dfrac{5}{2}.\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^5+b^5+c^5}{5}=abc.\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}\left(đpcm\right)\)
13 tháng 7 2019
Ta có \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca\right)\)
Mà a+b+c=0 nên \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
Ta có \(\frac{a^2+b^2+c^2}{2}.\frac{a^3+b^3+c^3}{3}=\frac{(a^2+b^2+c^2)3abc}{6}=\frac{(a^2+b^2+c^2)abc}{2}\)(1)
Ta có \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)3abc\)(2)
Bạn nhân vế trái của (2) ra rồi nhóm lại thì đc nhứ sau
\(=>2\left(a^5+b^5+c^5\right)-2abc\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)3abc\)
\(=>2\left(a^5+b^5+c^5\right)=5abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=>\frac{a^5+b^5+c^5}{5}=\frac{abc(a^2+b^2+c^2)}{2}\)(3)
Từ (1)và (3)=> đpcm
Học tốt nha bạn !
ML
0
ML
1
MK
25 tháng 9 2018
a+b+c=0⇔a3+b3+c3=3abca+b+c=0⇔a3+b3+c3=3abc (cái này tự chứng minh nhá, dễ)
⇒3abc(a2+b2+c2)=(a3+b3+c3)(a2+b2+c2)=a5+b5+c5+a3(b2+c2)+b3(c2+a2)+c3(a2+b2)⇒3abc(a2+b2+c2)=(a3+b3+c3)(a2+b2+c2)=a5+b5+c5+a3(b2+c2)+b3(c2+a2)+c3(a2+b2)
Lại có b+c=−a⇔b2+c2=(b+c)2−2bc=a2−2bcb+c=−a⇔b2+c2=(b+c)2−2bc=a2−2bc
Tương tự c2+a2=b2−2ac,a2+b2=c2−2abc2+a2=b2−2ac,a2+b2=c2−2ab
Nên 3abc(a2+b2+c2)=a5+b5+c5+a3(a2−2bc)+b3(b2−2ac)+c3(c2−2ab)=2(a5+b5+c5)−2abc(a2+b2+c2)
7 tháng 12 2017
Chứng minh BĐT Phụ: \(a^5+b^5\ge a^4b+ab^4\)với \(a;b>0\)
\(\Rightarrow\frac{a^5+b^5}{ab\left(a+b\right)}\ge\frac{a^4b+ab^4}{ab\left(a+b\right)}=\frac{ab\left(a^3+b^3\right)}{ab\left(a+b\right)}=\frac{ab\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{ab\left(a+b\right)}=a^2-ab+b^2\)
Áp dụng ta có: \(VT\)(VẾ TRÁI)\(\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)\) \(\left(1\right)\)
Xét: \(\left[2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)\right]-\left[3\left(ab+bc+ca\right)-2\right]\)
\(=2\left(a^2+b^2+c^2\right)-4\left(ab+bc+ca\right)+2\)
\(=4\left(a^2+b^2+c^2\right)-4\left(ab+bc+ca\right)\) (Do a2+b2+c2=1) \(\left(2\right)\)
Mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) Tự chứng minh \(\left(3\right)\)
Từ (1);(2) và (3) suy ra \(VT\ge3\left(ab+bc+ca\right)-2\)
Vậy \(\frac{a^5+b^5}{ab\left(a+b\right)}+\frac{b^5+c^5}{bc\left(b+c\right)}+\frac{c^5+a^5}{ca\left(c+a\right)}\ge3\left(ab+bc+ca\right)-2\)
BĐT cần chứng minh tương đương với
\(\left(1-\frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}\right)+\left(1-\frac{b^5-b^2}{b^5+c^2+a^2}\right)+\left(1-\frac{c^5-c^2}{c^5+a^2+b^2}\right)\le3\)
hay \(\frac{1}{a^5+b^2+c^2}+\frac{1}{b^5+c^2+a^2}+\frac{1}{c^5+a^2+b^2}\le\frac{3}{a^2+b^2+c^2}\)
Từ \(abc\ge1\) ta có:
\(\frac{1}{a^5+b^2+c^2}\le\frac{1}{\frac{a^5}{abc}+b^2+c^2}=\frac{1}{\frac{a^4}{bc}+b^2+c^2}\)
\(\le\frac{1}{\frac{2a^4}{b^2+c^2}+b^2+c^2}=\frac{b^2+c^2}{2a^4+\left(b^2+c^2\right)^2}\)
Do \(4u^2+v^2\ge4uv\Leftrightarrow4u^2+v^2\ge\frac{2}{3}\left(u+v\right)^2\)nên
\(2a^4+\left(b^2+c^2\right)^2\ge\frac{2}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)
Suy ra \(\frac{1}{a^5+b^2+c^2}\le\frac{3\left(b^2+c^2\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)
Tương tự ta có \(\frac{1}{b^5+c^2+a^2}\le\frac{3\left(c^2+a^2\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)
và \(\frac{1}{c^5+a^2+b^2}\le\frac{3\left(a^2+b^2\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)
Cộng ba vế của các BĐT trên ta được
\(\frac{1}{a^5+b^2+c^2}+\frac{1}{b^5+c^2+a^2}+\frac{1}{c^5+a^2+b^2}\le\frac{3}{a^2+b^2+c^2}\)
Vậy \(\frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}+\frac{b^5-b^2}{b^5+c^2+a^2}+\frac{c^5-c^2}{c^5+a^2+b^2}\ge0\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=1\))