Question

[Giao Khánh Linh]

Cho đường tròn (O;R), dây AB cố định .Trên tia đối của AB lấy điểm M. Từ M kẻ tiếp tuyến MC,MD với (O) (C,D là các tiếp điểm.) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với Om cắt MC,MD theo thứ tự ở E và F

a, Chứng minh AC.BD=AD.BC

b, Xác định vị trí của M trên tia đối của AB để diện tích tam giác MEF nhỏ nhất

Answer 1

[Vũ Tiến Manh]

a) dễ dàng chứng minh được MD²= MC² = MA.MB ( bằng cách kẻ đường thẳng từ M qua O và chứng minh tam giác đồng dạng)

MC²=MA.MB => tam giác MAC đồng dạng với tam giác MCB => \(\frac{MA}{MC}=\frac{AC}{BC}\)(1)

MD²=MA.MB => tam giác MAD đồng dạng với tam giác MDB => \(\frac{MA}{MD}=\frac{AD}{BD}\)(2)

TỪ (1) và (2) => \(\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BD}\)=> AC.BD=AD.BC

b)

xét tam giác vuông MOE với đường cao OC; Đặt OM=x; 

\(\frac{1}{OE^2}+\frac{1}{OM^2}=\frac{OM^2+OE^2}{OM^2.OE^2}=\frac{ME^2}{OC^2.ME^2}\)=\(\frac{1}{OC^2}\)=>\(\frac{1}{OE^2}+\frac{1}{x^2}=\frac{1}{R^2}=>OE=\frac{x.R}{\sqrt{x^2-R^2}}\)

Tam giác MCO=tam giác MDO( vì OC=OD;OM cạnh chung và góc MCO=góc MDO=90o) => góc CMO = góc DMO 

tam giác MEF có MO vừa là đường cao vừa là phân giác nên MO cũng là đường trung tuyến của EF => EF=2OE

diện tích tam giác MEF là \(\frac{1}{2}OM.\)EF=OE.OM=\(\frac{x.R}{\sqrt{x^2-R^2}}x\)=R.\(\frac{x^2}{\sqrt{x^2-R^2}}\)\(\ge R\).R\(\sqrt{2}\)=R²\(\sqrt{2}\)

Thật vậy \(\frac{x^2}{\sqrt{x^2-R^2}}\ge2\sqrt{R}< =>\frac{x^4}{x^2-R^2}\ge4R\)<=> (x²-2R)²\(\ge0\)(đúng)

=> diện tích MEF nhỏ nhất khi x²=2R <=> x=OM =\(\sqrt{2R}\)hay M là giao của (O;\(\sqrt{2R}\)) và AB (có 2 điểm M thỏa mãn)