Question

[Incognito]

Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC<BC). Điểm P thay đổi bên trong tam giác. Trên tia đối tia AP lấy D bất kì. Gọi PB cắt đường tròn (BDA) tại E khác B, PC cắt (CDA) tại F khác C. Gọi K là tâm ngoại tiếp của tam giác DEF. Chứng minh rằng PK luôn đi qua điểm cố định khi P thay đổi.

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

Gọi O là tâm ngoại tiếp của \(\Delta\)ABC. Khi đó PK đi qua (O), thật vậy:

Gọi DP,EP,FP cắt đường tròn (K) lần thứ hai lần lượt tại M,N,Q.

Theo hệ thức lượng đường tròn: PA.PD = PB.PE = PC.PF => Tứ giác BCFE nội tiếp

Nên ta có: ^MNQ = ^MNE + ^ENQ = ^MDE + ^EFQ = ^ABP + ^CBP = ^ ABC.

Hoàn toàn tương tự: ^MQN = ^ACB. Từ đó suy ra \(\Delta\)ABC ~ \(\Delta\)MNQ (g.g)

Hai tam giác này có tâm ngoại tiếp tương ứng là O,K nên \(\Delta\)AOC ~ \(\Delta\)MKQ (g.g)

=> \(\frac{OC}{KQ}=\frac{AC}{MQ}\). Bên cạnh đó ^DMQ = ^DFQ = ^CAP nên AC // MQ.

Theo hệ quả ĐL Thales có: \(\frac{AC}{MQ}=\frac{PC}{PQ}\). Từ đây \(\frac{OC}{KQ}=\frac{PC}{PQ}\) (1)

Ta lại có ^OCP = ^ACP - ^OCA = ^MQP - ^KQM = ^KQP (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta\)COP ~ \(\Delta\)QKP (c.g.c) => ^CPO = ^QPK

Mà ba điểm C,P,Q thẳng hàng nên ba điểm O,P,K cũng thẳng hàng. Do vậy PK đi qua O cố định (đpcm).