Cho ba số nguyên x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z chia hết cho 6. Chứng minh rằng biểu thức
\(M=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)-2xyz\) chia hết cho 6
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NC
21 tháng 2 2021
Ta có:\(M=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)-2xyz\)
\(=\left(x^2+xz+xy+yz\right)\left(y+z\right)-2xyz\)
\(=x^2y+x^2z+xyz+xz^2+xy^2+xyz+y^2z+yz^2-2xyz\)
\(=x^2y+x^2z+xz^2+xy^2+y^2z+yz^2\)
\(=\left(x^2y+xy^2+xyz\right)+\left(y^2z+yz^2+xyz\right)+\left(z^2x+zx^2+xyz\right)-3xyz\)
\(=xy\left(x+y+z\right)+yz\left(x+y+z\right)+xz\left(x+y+z\right)-3xyz\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)-3xyz\)
Vì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)⋮6\)
Giả sử:Trg 3 số x,y,z không tồn tại số nào chẵn
=> x+y+z lẻ mà 1 số lẻ không chia hết cho 6 nên điều g/s sai
=> tồn tại ít nất 1 trong 3 số x,y,z chẵn
Giả sử: x chẵn
=> x chia hết cho 2 => 3xyz chia hết cho 6
=> đpcm
T
9 tháng 11 2015
Nếu x,y,z khác số dư khi chia cho 3
+Nếu có 2 số chia hết cho 3.Số còn lại không chia hết cho 3.Giả sử x,y đều chia hết cho 3, z không chia hết cho 3=>x+y+z không chia hết cho 3. Do x,y đều chia hết cho 3 nên (x−y)⋮3=>(x−y)(y−z)(z−x)⋮3(Vô lý do (x−y)(y−z)(z−x)=x+y+z)
+Nếu có 1 số chia hết cho 3, 2 số còn lại khác số chia khi chia cho 3, không chia hết cho 3.Tương tự dẫn đến vô lý.
Vậy cả 3 số có cùng số dư khi chia cho 3 =>(x−y)⋮3,(y−z)⋮3,(z−x)⋮3=>(x−y)(y−z)(z−x)⋮27=>(x+y+z)⋮27
6 tháng 11 2018
hùi nãy mem nào k sai cho t T_T t buồn
\(VT\ge6\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)-2\left(xy+yz+zx\right)+2.\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(=6\left(x+y+z\right)^2-2.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}=6.\left(\frac{3}{4}\right)^2-2.\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{3}+\frac{9}{2.\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{27}{8}-\frac{3}{8}+6=9\)
\(\Rightarrow\)\(VT\ge9\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{4}\)
Chúc bạn học tốt ~
EM LÀ CON GÁI HAY TRAI VẬY
Có: \(x+y+z⋮6\)
\(\Rightarrow x+y+z=6k\left(k\in Z\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=6k-z\\y+z=6k-x\\z+x=6k-y\end{cases}}\)
\(M=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)-2xyz\)
\(\Leftrightarrow M=x^2y+y^2z+z^2y+xy^2+xz^2+x^2z-2xyz-2xyz\)
\(\Leftrightarrow M=xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(z+x\right)\)
\(\Leftrightarrow M=xy\left(6k-z\right)+yz\left(6k-x\right)+xz\left(6k-y\right)\)
\(\Leftrightarrow M=6k\left(xy+yz+zx\right)-3xyz\)
Ta có:\(x+y+z=6k\left(k\in Z\right)\)
\(\Rightarrow\)x+y+z là số chẵn.
\(\Rightarrow\)trong 3 số x;y;z có ít nhất 1 số chẵn
\(\Rightarrow xyz⋮2\)
\(\Rightarrow3xyz⋮6\)
\(M=6k\left(xy+yz+zx\right)-3xyz⋮6\)( vì \(6k\left(xy+yz+zx\right)⋮6\))
đpcm